Melhor solucionador matemático de IA (2026): Ferramentas testadas para obter resultados precisos

### Passos

Dado que
\[
x+y=11,\qquad xy=24.
\]

Utilize
\[
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.
\]

Portanto,
\[
x^2+y^2=11^2-2(24)=121-48=73.
\]

Para identificar \(x\) e \(y\), eles devem ser as raízes de
\[
t^2-(x+y)t+xy=0,
\]
portanto
\[
t^2-11t+24=0.
\]

Fatorando:
\[
(t-3)(t-8)=0.
\]

Portanto, os dois valores são \(3\) e \(8\).

### Resposta final

\[
\boxed{x^2+y^2=73},\qquad \boxed{\{x,y\}=\{3,8\}}.
\]

### Verificação

\[
3+8=11,\qquad 3\cdot 8=24,
\]
e
\[
3^2+8^2=9+64=73.
\]

Etapas
- (x+y)² = x² + 2xy + y², portanto x² + y² = 11² �?? 2(24) = 121 �?? 48 = 73.
- x e y são raízes de t² �?? 11t + 24 = 0 = (t �?? 3)(t �?? 8).

Resposta final
x² + y² = 73; {x, y} = {3, 8}.

Verificação
3 + 8 = 11, 3·8 = 24, 9 + 64 = 73. Discriminante 121 - 96 = 25 > 0, portanto ambas as raízes são reais.

Passos:
1. Utilize a identidade algébrica $x² + y² = (x + y)² - 2xy$.
2. Substitua os valores fornecidos $x + y = 11$ e $xy = 24$:
   $$x^2 + y^2 = 11^2 - 2(24) = 121 - 48 = 73$$
3. Para determinar $x$ e $y$, construa a equação quadrática cujas raízes são $x$ e $y$:
   $$t^2 - (x+y)t + xy = 0 \implies t^2 - 11t + 24 = 0$$
4. Fatore a equação quadrática:
   $$(t - 3)(t - 8) = 0 \implies t = 3 \text{ ou } t = 8$$

Resposta final:
$x^2 + y^2 = 73$; Par não ordenado $\{x, y\} = \{3, 8\}$.

Verificação:
$3 + 8 = 11$, $3 \times 8 = 24$ e $3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73$.

### Passos

Sejam \(a\) e \(b\) os comprimentos dos lados positivos.

O perímetro é \(34\) cm:
\[
2(a+b)=34,
\]
portanto
\[
a+b=17.
\]

A diagonal mede \(13\) cm; portanto, pelo teorema de Pitágoras,
\[
a^2+b^2=13^2=169.
\]

Usando
\[
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab,
\]
obtemos
\[
17^2=169+2ab.
\]

Portanto,
\[
289=169+2ab,
\]
\[
2ab=120,
\]
\[
ab=60.
\]

Os comprimentos dos lados são raízes de
\[
t^2-17t+60=0.
\]

Fatorando:
\[
(t-5)(t-12)=0.
\]

Assim, os comprimentos dos lados são \(5\) cm e \(12\) cm. A área é
\[
A=ab=60\text{ cm}^2.
\]

As dimensões são determinadas porque sua soma e seu produto são fixos. A equação quadrática tem exatamente as duas raízes positivas \(5\) e \(12\), que dão origem ao mesmo retângulo, exceto pela troca entre comprimento e largura.

### Resposta final

\[
\boxed{\text{Comprimentos dos lados: }5\text{ cm e }12\text{ cm}}
\]
\[
\boxed{\text{Área: }60\text{ cm}^2}
\]

### Verificação

Perímetro:
\[
2(5+12)=2(17)=34\text{ cm}.
\]

Diagonal:
\[
\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ cm}.
\]

Área:
\[
5\cdot 12=60\text{ cm}^2.
\]

Passos
- Sejam os lados a e b > 0. Perímetro: 2(a+b) = 34 �?? a + b = 17.
- Diagonal (Teorema de Pitágoras): a² + b² = 169.
- 2ab = (a+b)² �?? (a²+b²) = 289 �?? 169 = 120 �?? ab = 60.
- a e b são raízes de t² �?? 17t + 60 = 0 = (t �?? 5)(t �?? 12).

Resposta final
Lados de 5 cm e 12 cm; área de 60 cm².

Verificação
2(5+12) = 34, 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², área = 60.
Por que se determina: as duas condições fixam a soma e o produto dos comprimentos dos lados, e uma equação quadrática monica é determinada de forma única pela soma e pelo produto de suas raízes. O discriminante 289 – 240 = 49 > 0 indica duas raízes positivas, que correspondem ao mesmo retângulo, bastando apenas reclassificar a e b – portanto, as dimensões são únicas como um par não ordenado.

Passos:
1. Sejam os comprimentos dos lados $a > 0$ e $b > 0$.
2. A equação do perímetro é $²(a + b) = 34 \implies a + b = 17$.
3. Pelo teorema de Pitágoras, a diagonal dá $a² + b² = 13² = 169$.
4. Utilize $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$:
   $$17^2 = 169 + 2ab \implies 289 = 169 + 2ab \implies 2ab = 120 \implies ab = 60$$
5. A área é $A = ab = 60\text{ cm}^2$.
6. Os comprimentos dos lados $a$ e $b$ são as raízes positivas de $t^2 - 17t + 60 = 0$:
   $$(t - 5)(t - 12) = 0 \implies t = 5 \text{ ou } t = 12$$
7. **Por que as dimensões são determinadas:** O perímetro e a diagonal determinam de forma única tanto a soma $(a+b = 17)$ quanto o produto $(ab = 60)$ dos comprimentos positivos dos lados. Um sistema que especifica a soma e o produto de dois números define de forma única o conjunto de raízes de um polinômio quadrático, fornecendo um par único de comprimentos de lados, considerando a ordem.

Resposta final:
Comprimentos dos lados: $5\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$; Área: $60\text{ cm}^2$. As dimensões são determinadas porque o perímetro e a diagonal definem de forma única a soma e o produto dos comprimentos dos lados adjacentes, levando a um conjunto único de soluções quadráticas positivas.

Verificação:
Perímetro: $2(5 + 12) = 34\text{ cm}$. Diagonal: $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$. Área: $5 \times 12 = 60\text{ cm}^2$.

### Passos

Seja \(C\) o custo original.

Uma margem de lucro de \(25\%\) multiplica o custo por
\[
1+0,25=1,25.
\]

O preço de tabela é, portanto,
\[
1,25C.
\]

Um desconto de \(20\%\) significa que o cliente paga \(80\%\) do preço de tabela:
\[
0,80(1,25C)=120.
\]

Como
\[
0,80\cdot 1,25=1,
\]
a equação passa a ser
\[
C=120.
\]

O preço pago é igual ao custo original; portanto, a variação percentual líquida é
\[
\frac{120-120}{120}\cdot 100\%=0\%.
\]

### Resposta final

\[
\boxed{\text{Custo original}=\$120}
\]
\[
\boxed{\text{Variação percentual líquida}=0\%}
\]

### Verificação

Uma margem de lucro de \(25\%\) sobre \(\$120\) resulta em
\[
120(1,25)=\$150.
\]

Um desconto de \(20\%\) sobre \(\$150\) resulta em
\[
150(0,80)=\$120.
\]

Portanto, o preço pago é exatamente igual ao custo original.

Passos
- Seja custo = C. Preço de tabela = 1,25C.
- Preço de venda = 0,80 × 1,25C = 1,00C.
- Preço pago = 120 × C = 120.
- Variação líquida = (120 – 120)/120 = 0.

Resposta final
Custo original = $120; variação líquida do custo ao preço pago = 0% (nenhuma variação).

Verificação
120 com acréscimo de 25% – 150 com desconto de 20% – 150 – 30 = 120. Observe os multiplicadores: 1,25 × 0,80 = exatamente 1, portanto, a margem de lucro e o desconto se anulam independentemente do custo. (O resultado é antes dos impostos, conforme indicado.)

Etapas:
1. Seja $C > 0$ o custo original em dólares.
2. Margem de lucro de 25%: Preço marcado $M = C \times (1 + 0,25) = 1,25C$.
3. Desconto de 20% sobre o preço marcado: Preço pago $P = M × (1 - 0,20) = 1,25C × 0,80 = 1,00C$.
4. Defina $P = \$120$:
   $$1,00C = 120 \implies C = \$120$$
5. Variação percentual líquida do custo ao preço pago:
   $$\text{Variação líquida} = \frac{P - C}{C} \times 100\% = \frac{120 - 120}{120} \times 100\% = 0\%$$

Resposta final:
Custo original: $\$120$; Variação percentual líquida: $0\%$.

Verificação:
Margem de lucro: $\$120 \times 1,25 = \$150$. Desconto: $\$150 \times 0,80 = \$120$. O preço pago corresponde a $\$120$, e o custo é igual ao preço pago (variação líquida de $0\%$).

### Passos

Resolva
\[
\sqrt{x+6}=x
\]
no conjunto dos números reais.

Como uma raiz quadrada é não negativa, o lado direito deve satisfazer
\[
x\ge 0.
\]
Além disso, o radicando exige que \(x+6\ge 0\), o que é automaticamente satisfeito quando \(x\ge 0\).

Eleve ambos os lados ao quadrado:
\[
x+6=x^2.
\]

Reorganize:
\[
x^2-x-6=0.
\]

Fatorize:
\[
(x-3)(x+2)=0.
\]

As soluções possíveis são
\[
x=3\quad\text{ou}\quad x=-2.
\]

Ambas as soluções devem ser verificadas na equação original, pois a elevação ao quadrado pode introduzir soluções estranhas.

Para \(x=3\):
\[
\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3,
\]
portanto, \(x=3\) é válido.

Para \(x=-2\):
\[
\sqrt{-2+6}=\sqrt{4}=2\ne -2,
\]
portanto, \(x=-2\) é inválido. A solução é inválida porque a raiz quadrada principal é sempre não negativa, enquanto o lado direito proposto é negativo.

### Resposta final

\[
\boxed{x=3}
\]

### Verificação

A substituição na equação original resulta em
\[
\sqrt{3+6}=3,
\]
\[
3=3.
\]

A solução rejeitada \(x=-2\) resulta em \(2=-2\), o que é falso.

Etapas
- Domínio/condições: é necessário que x + 6 ≥ 0 (x ≥ 6) e, como a raiz quadrada principal é não negativa, x ≥ 0.
- Eleve ambos os lados ao quadrado: x + 6 = x² + x² + x + 6 = 0 + (x + 3)(x + 2) = 0 + x = 3 ou x = √2.
- Verifique na equação original: x = 3 �?? �??9 = 3 �??. x = �??2 �?? �??4 = 2 �?� �??2 �??.

Resposta final
x = 3.

Verificação
(3 + 6) = 9 = 3 = x.
Por que x = 2 não é válido: a elevação ao quadrado não é reversível isso transforma �??(x+6) = x em uma equação também satisfeita por �??(x+6) = �??x. x = �??2 satisfaz esse segundo ramo, mas viola a condição x �?� 0, pois a raiz principal não pode ser negativa. Trata-se de uma raiz estranha introduzida pela elevação ao quadrado.

Etapas:
1. Equação: $\sqrt{x + 6} = x$.
2. Restrições de domínio/condições:
   - Radicando não negativo: $x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$.
   - A raiz quadrada principal é não negativa: $\sqrt{x + 6} \ge 0 \implies x \ge 0$.
   - Restrição combinada do domínio: $x \ge 0$.
3. Eleve ambos os lados ao quadrado:
   $$x + 6 = x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0$$
4. Fatore:
   $$(x - 3)(x + 2) = 0 \implies \text{Soluções possíveis: } x = 3, x = -2$$
5. Verifique as soluções na equação original $\sqrt{x + 6} = x$:
   - Para $x = 3$: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$. Válido (LHS = RHS).
   - Para $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2$. Rejeitado.
6. **Motivo da rejeição:** A função raiz quadrada real principal $\sqrt{\cdot}$ sempre retorna um valor real não negativo ($\sqrt{4} = +2$). Como o lado direito é $-2$, a equação $² = -2$ é falsa. $x = -2$ é uma solução estranha introduzida pela elevação ao quadrado.

Resposta final:
$x = 3$.

Verificação:
Lado esquerdo quando $x = 3$: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3 = \text{Lado direito}$.
Lado esquerdo em $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2 = \text{Lado direito}$.

### Passos

Calcule
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx.
\]

Use a substituição por \(u\):
\[
u=x^2.
\]

Então
\[
du=2x\,dx.
\]

Portanto,
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx=\int e^u\,du.
\]

Integrando:
\[
\int e^u\,du=e^u+C.
\]

Substitua \(u=x^2\):
\[
e^{x^2}+C.
\]

Essa antiderivada é válida para todo \(x\) real.

### Resposta final

\[
\boxed{\int 2x e^{x^2}\,dx=e^{x^2}+C}
\]

### Verificação

Derive o resultado usando a regra da cadeia:
\[
\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}+C\right)
=e^{x^2}\cdot 2x
=2x e^{x^2}.
\]

Isso coincide com o integrando original.

Etapas
- Substituição: u = x², du = 2x dx.
- �?� 2x e^(x²) dx = �?� e^u du = e^u + C = e^(x²) + C.

Resposta final
e^(x²) + C.

Verificação
d/dx [e^(x²) + C] = e^(x²) · d/dx(x²) = 2x e^(x²) (regra da cadeia). Válido para todo x real; o integrando é contínuo em �?�.

Etapas:
1. Calcule $\int 2x e^{x^2} \, dx$ no domínio $x \in (-\infty, \infty)$.
2. Nome da substituição: substituição $u$, com $u = x^2$.
3. Calcule a derivada: $du = 2x \, dx$.
4. Substitua na integral:
   $$\int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C$$
5. Substitua de volta $u = x^2$:
   $$e^{x^2} + C$$

Resposta final:
$e^{x^2} + C$  (Substituição: $u = x^2$)

Verificação:
Derive o resultado em relação a $x$ utilizando a regra da cadeia:
$$\frac{d}{dx}\left(e^{x^2} + C\right) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + 0 = 2x e^{x^2}$$
Isso recupera o integrando original.