Bester AI Math Solver (2026): Geprüfte Tools für genaue Ergebnisse

### Schritte

Gegeben ist
\[
x+y=11,\qquad xy=24.
\]

Man wendet an:
\[
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.
\]

Daraus folgt
\[
x^2+y^2=11^2-2(24)=121-48=73.
\]

Um \(x\) und \(y\) zu bestimmen, müssen sie die Wurzeln von
\[
t^2-(x+y)t+xy=0,
\]
sein, also
\[
t^2-11t+24=0.
\]

Faktorisierung:
\[
(t-3)(t-8)=0.
\]

Somit sind die beiden Werte \(3\) und \(8\).

### Endgültiges Ergebnis

\[
\boxed{x^2+y^2=73},\qquad \boxed{\{x,y\}=\{3,8\}}.
\]

### Überprüfung

\[
3+8=11,\qquad 3\cdot 8=24,
\]
und
\[
3^2+8^2=9+64=73.
\]

Schritte
- (x+y)² = x² + 2xy + y², also x² + y² = 11² �?? 2(24) = 121 �?? 48 = 73.
- x und y sind die Wurzeln von t² �?? 11t + 24 = 0 = (t �?? 3)(t �?? 8).

Endgültiges Ergebnis
x² + y² = 73; {x, y} = {3, 8}.

Überprüfung
3 + 8 = 11, 3·8 = 24, 9 + 64 = 73. Diskriminante 121 – 96 = 25 > 0, daher sind beide Wurzeln reell.

Schritte:
1. Verwende die algebraische Identität $x² + y² = (x + y)² - 2xy$.
2. Setze die gegebenen Werte $x + y = 11$ und $xy = 24$ ein:
   $$x^2 + y^2 = 11^2 - 2(24) = 121 - 48 = 73$$
3. Um $x$ und $y$ zu ermitteln, stelle die quadratische Gleichung auf, deren Wurzeln $x$ und $y$ sind:
   $$t^2 - (x+y)t + xy = 0 \implies t^2 - 11t + 24 = 0$$
4. Faktorisieren Sie die quadratische Gleichung:
   $$(t - 3)(t - 8) = 0 \implies t = 3 \text{ oder } t = 8$$

Endgültiges Ergebnis:
$x^2 + y^2 = 73$; ungeordnetes Paar $\{x, y\} = \{3, 8\}$.

Überprüfung:
$3 + 8 = 11$, $3 \times 8 = 24$ und $3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73$.

### Schritte

Die Längen der positiven Seiten seien \(a\) und \(b\).

Der Umfang beträgt \(34\) cm:
\[
2(a+b)=34,
\]
also
\[
a+b=17.
\]

Die Diagonale beträgt \(13\) cm, daher gilt nach dem Satz des Pythagoras:
\[
a^2+b^2=13^2=169.
\]

Mit
\[
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab,
\]
erhalten wir
\[
17^2=169+2ab.
\]

Daher gilt:
\[
289=169+2ab,
\]
\[
2ab=120,
\]
\[
ab=60.
\]

Die Seitenlängen sind die Wurzeln von
\[
t^2-17t+60=0.
\]

Faktorisierung:
\[
(t-5)(t-12)=0.
\]

Somit betragen die Seitenlängen \(5\) cm und \(12\) cm. Die Fläche beträgt
\[
A=ab=60\text{ cm}^2.
\]

Die Abmessungen sind festgelegt, da ihre Summe und ihr Produkt gegeben sind. Die quadratische Gleichung hat genau die beiden positiven Wurzeln \(5\) und \(12\), die bis auf den Austausch von Länge und Breite dasselbe Rechteck ergeben.

### Endgültiges Ergebnis

\[
\boxed{\text{Seitenlängen: }5\text{ cm und }12\text{ cm}}
\]
\[
\boxed{\text{Fläche: }60\text{ cm}^2}
\]

### Überprüfung

Umfang:
\[
2(5+12)=2(17)=34\text{ cm}.
\]

Diagonale:
\[
\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ cm}.
\]

Fläche:
\[
5\cdot 12=60\text{ cm}^2.
\]

Schritte
- Seien die Seiten a und b > 0. Umfang: 2(a+b) = 34 �?? a + b = 17.
- Diagonale (Satz des Pythagoras): a² + b² = 169.
- 2ab = (a + b)² �?? (a² + b²) = 289 �?? 169 = 120 �?? ab = 60.
- a, b sind die Wurzeln von t² �?? 17t + 60 = 0 = (t �?? 5)(t �?? 12).

Endgültiges Ergebnis
Seitenlängen 5 cm und 12 cm; Fläche 60 cm².

Überprüfung
2(5+12) = 34, 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13, Fläche = 60.
Begründung: Die beiden Bedingungen legen die Summe und das Produkt der Seitenlängen fest, und eine monische quadratische Gleichung ist durch die Summe und das Produkt ihrer Wurzeln eindeutig bestimmt. Die Diskriminante 289 – 240 = 49 > 0 liefert zwei positive Wurzeln, die bis auf die Umbenennung von a und b dasselbe Rechteck darstellen – daher sind die Abmessungen als ungeordnetes Paar eindeutig.

Schritte:
1. Seien die Seitenlängen $a > 0$ und $b > 0$.
2. Die Umfangsgleichung lautet $²(a + b) = 34 \implies a + b = 17$.
3. Nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich für die Diagonale: $a^2 + b^2 = 13^2 = 169$.
4. Man wendet $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ an:
   $$17^2 = 169 + 2ab \implies 289 = 169 + 2ab \implies 2ab = 120 \implies ab = 60$$
5. Die Fläche beträgt $A = ab = 60\text{ cm}^2$.
6. Die Seitenlängen $a$ und $b$ sind die positiven Wurzeln von $t^2 - 17t + 60 = 0$:
   $$(t - 5)(t - 12) = 0 \implies t = 5 \text{ oder } t = 12$$
7. **Warum die Abmessungen bestimmt sind:** Der Umfang und die Diagonale legen sowohl die Summe $(a + b = 17)$ als auch das Produkt $(ab = 60)$ der positiven Seitenlängen eindeutig fest. Ein System, das die Summe und das Produkt zweier Zahlen angibt, definiert eindeutig die Menge der Wurzeln eines quadratischen Polynoms und liefert somit ein eindeutiges Paar von Seitenlängen bis auf die Reihenfolge.

Endgültige Antwort:
Seitenlängen: $5\text{ cm}$ und $12\text{ cm}$; Fläche: $60\text{ cm}^2$. Die Abmessungen sind eindeutig bestimmt, da Umfang und Diagonale die Summe und das Produkt der Längen benachbarter Seiten eindeutig festlegen, was zu einer eindeutigen Menge positiver quadratischer Lösungen führt.

Überprüfung:
Umfang: $2(5 + 12) = 34\text{ cm}$. Diagonale: $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$. Fläche: $5 \times 12 = 60\text{ cm}^2$.

### Schritte

Seien die ursprünglichen Kosten \(C\).

Ein Aufschlag von \(25\%\) multipliziert die Kosten mit
\[
1+0,25=1,25.
\]

Der Ausstellpreis beträgt daher
\[
1,25C.
\]

Ein Rabatt von \(20\%\) bedeutet, dass der Kunde \(80\%\) des Ausstellpreises bezahlt:
\[
0,80(1,25C)=120.
\]

Da
\[
0,80 \cdot 1,25 = 1,
\]
ergibt sich folgende Gleichung:
\[
C = 120.
\]

Der bezahlte Preis entspricht den ursprünglichen Kosten, daher beträgt die prozentuale Nettoveränderung
\[
\frac{120-120}{120}\cdot 100\%=0\%.
\]

### Endgültiges Ergebnis

\[
\boxed{\text{Ursprüngliche Kosten}=\$120}
\]
\[
\boxed{\text{Prozentuale Nettoveränderung}=0\%}
\]

### Überprüfung

Ein Aufschlag von \(25\%\) auf \(\$120\) ergibt
\[
120(1,25)=\$150.
\]

Ein Rabatt von \(20\%\) auf \(\$150\) ergibt
\[
150(0,80)=\$120.
\]

Somit entspricht der bezahlte Preis genau den ursprünglichen Kosten.

Schritte
- Sei der Anschaffungspreis = C. Der Ausstellungspreis = 1,25C.
- Verkaufspreis = 0,80 × 1,25C = 1,00C.
- Bezahlter Preis = 120 × C = 120.
- Nettoveränderung = (120 – 120)/120 = 0.

Endgültiges Ergebnis
Ursprüngliche Kosten = $120; Nettoveränderung von den Kosten zum gezahlten Preis = 0% (keine Veränderung).

Überprüfung
120 �?? Aufschlag von 25% �?? 150 �?? Rabatt von 20% �?? 150 �?? 30 = 120 �??. Beachten Sie die Multiplikatoren: 1,25 �? 0,80 = genau 1, sodass sich Aufschlag und Rabatt unabhängig von den Anschaffungskosten gegenseitig aufheben. (Das Ergebnis versteht sich, wie angegeben, vor Steuern.)

Schritte:
1. Sei $C > 0$ der ursprüngliche Preis in Dollar.
2. Aufschlag von 25%: Ausgeschlagener Preis $M = C \times (1 + 0,25) = 1,25C$.
3. Rabatt von 20% auf den Ausgabepreis: Bezahlter Preis $P = M × (1 – 0,20) = 1,25C × 0,80 = 1,00C$.
4. Setze $P = \$120$:
   $$1,00C = 120 \implies C = \$120$$
5. Netto-Prozentänderung von den Kosten zum gezahlten Preis:
   $$\text{Nettoänderung} = \frac{P - C}{C} \times 100\% = \frac{120 - 120}{120} \times 100\% = 0\%$$

Endgültiges Ergebnis:
Ursprüngliche Kosten: $\$120$; Prozentuale Nettoveränderung: $0\%$.

Überprüfung:
Aufschlag: $\$120 \times 1,25 = \$150$. Rabatt: $\$150 \times 0,80 = \$120$. Der gezahlte Preis entspricht $\$120$, und die Kosten entsprechen dem gezahlten Preis ($0\%$ Nettoveränderung).

### Schritte

Löse
\[
\sqrt{x+6}=x
\]
über den reellen Zahlen.

Da eine Quadratwurzel nicht negativ ist, muss die rechte Seite die Bedingung
\[
x\ge 0.
\]
Außerdem erfordert der Radikand \(x+6\ge 0\), was automatisch erfüllt ist, wenn \(x\ge 0\) gilt.

Beide Seiten quadrieren:
\[
x+6=x^2.
\]

Umstellen:
\[
x^2-x-6=0.
\]

Faktorisieren:
\[
(x-3)(x+2)=0.
\]

Die Lösungsanwärter sind
\[
x=3\quad\text{oder}\quad x=-2.
\]

Beide Lösungen müssen in der ursprünglichen Gleichung überprüft werden, da das Quadrieren zu irrelevanten Lösungen führen kann.

Für \(x=3\):
\[
\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3,
\]
also ist \(x=3\) gültig.

Für \(x=-2\):
\[
\sqrt{-2+6}=\sqrt{4}=2\ne -2,
\]
daher ist \(x=-2\) ungültig. Die Lösung ist falsch, da die Hauptwurzel immer nichtnegativ ist, während die vorgeschlagene rechte Seite negativ ist.

### Endgültige Antwort

\[
\boxed{x=3}
\]

### Überprüfung

Durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung ergibt sich
\[
\sqrt{3+6}=3,
\]
\[
3=3.
\]

Die verworfene Lösung \(x=-2\) ergibt \(2=-2\), was falsch ist.

Schritte
- Definitionsbereich/Bedingungen: Es gilt x + 6 ≥ 0 (x ≥ 6) und, da die Hauptwurzel nicht negativ ist, x ≥ 0.
- Beide Seiten quadrieren: x + 6 = x² – x² – x – 6 = 0 – (x – 3)(x + 2) = 0 – x = 3 oder x = –2.
- Überprüfung in der ursprünglichen Gleichung: x = 3 �?? �??9 = 3 �??. x = �??2 �?? �??4 = 2 �?� �??2 �??.

Endgültiges Ergebnis
x = 3.

Überprüfung
(3 + 6) = 9 = 3 = x.
Warum x = √2 nicht gilt: Das Quadrieren ist nicht umkehrbar, Es verwandelt �??(x+6) = x in eine Gleichung, die auch durch �??(x+6) = �??x erfüllt wird. x = �??2 erfüllt diesen zweiten Zweig, verstößt jedoch gegen die Bedingung x �?� 0, da die Hauptwurzel nicht negativ sein kann. Es handelt sich um eine durch das Quadrieren eingeführte überflüssige Wurzel.

Schritte:
1. Gleichung: $\sqrt{x + 6} = x$.
2. Bereichs- und Bedingungsbeschränkungen:
   - Radikand nicht negativ: $x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$.
   - Die Hauptwurzel ist nicht negativ: $\sqrt{x + 6} \ge 0 \implies x \ge 0$.
   - Kombinierte Bereichsbeschränkung: $x \ge 0$.
3. Beide Seiten quadrieren:
   $$x + 6 = x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0$$
4. Faktorisieren:
   $$(x - 3)(x + 2) = 0 \implies \text{Lösungskandidaten: } x = 3, x = -2$$
5. Überprüfung der Lösungsmöglichkeiten in der ursprünglichen Gleichung $\sqrt{x + 6} = x$:
   - Für $x = 3$ gilt: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$. Gültig (linke Seite = rechte Seite).
   - Für $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2$. Verworfen.
6. **Grund für die Ablehnung:** Die reelle Hauptquadratwurzelfunktion $\sqrt{\cdot}$ liefert immer einen nicht-negativen reellen Wert ($\sqrt{4} = +2$). Da die rechte Seite $-2$ lautet, ist die Gleichung $² = -2$ falsch. $x = -2$ ist eine durch Quadrieren eingeführte überflüssige Lösung.

Endgültiges Ergebnis:
$x = 3$.

Überprüfung:
Linke Seite bei $x = 3$: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3 = \text{rechte Seite}$.
Linke Seite bei $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2 = \text{rechte Seite} $.

### Schritte

Berechne
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx.
\]

Verwende die \(u\)-Substitution:
\[
u=x^2.
\]

Dann gilt
\[
du=2x\,dx.
\]

Daher gilt
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx=\int e^u\,du.
\]

Integrieren:
\[
\int e^u\,du=e^u+C.
\]

Setze \(u=x^2\) ein:
\[
e^{x^2}+C.
\]

Diese Stammfunktion gilt für alle reellen \(x\).

### Endgültiges Ergebnis

\[
\boxed{\int 2x e^{x^2}\,dx=e^{x^2}+C}
\]

### Überprüfung

Differenzieren Sie das Ergebnis unter Anwendung der Kettenregel:
\[
\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}+C\right)
=e^{x^2}\cdot 2x
=2x e^{x^2}.
\]

Dies stimmt mit dem ursprünglichen Integranden überein.

Schritte
- Substitution: u = x², du = 2x dx.
- �?� 2x e^(x²) dx = �?� e^u du = e^u + C = e^(x²) + C.

Endgültiges Ergebnis
e^(x²) + C.

Überprüfung
d/dx [e^(x²) + C] = e^(x²) · d/dx(x²) = 2x e^(x²) �?? (Kettenregel). Gilt für alle reellen x; der Integrand ist auf �?� stetig.

Schritte:
1. Berechnen Sie $\int 2x e^{x^2} \, dx$ über den Definitionsbereich $x \in (-\infty, \infty)$.
2. Bezeichnung der Substitution: $u$-Substitution mit $u = x^2$.
3. Berechne die Differentialform: $du = 2x \, dx$.
4. Einsetzen in das Integral:
   $$\int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C$$
5. Zurückersetzen von $u = x^2$:
   $$e^{x^2} + C$$

Endgültiges Ergebnis:
$e^{x^2} + C$  (Substitution: $u = x^2$)

Überprüfung:
Differenzieren Sie das Ergebnis nach $x$ unter Anwendung der Kettenregel:
$$\frac{d}{dx}\left(e^{x^2} + C\right) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + 0 = 2x e^{x^2}$$
Damit erhält man den ursprünglichen Integranden zurück.