Mejor AI Math Solver (2026): Herramientas probadas para obtener resultados precisos

### Pasos

Dado que
\[
x+y=11,\qquad xy=24.
\]

Utiliza
\[
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.
\]

Por lo tanto,
\[
x^2+y^2=11^2-2(24)=121-48=73.
\]

Para determinar los valores de \(x\) e \(y\), deben ser las raíces de
\[
t^2-(x+y)t+xy=0,
\]
por lo que
\[
t^2-11t+24=0.
\]

Descomponiendo en factores:
\[
(t-3)(t-8)=0.
\]

Por lo tanto, los dos valores son \(3\) y \(8\).

### Respuesta final

\[
\boxed{x^2+y^2=73},\qquad \boxed{\{x,y\}=\{3,8\}}.
\]

### Verificación

\[
3+8=11,\qquad 3\cdot 8=24,
\]
y
\[
3^2+8^2=9+64=73.
\]

Pasos
- (x+y)² = x² + 2xy + y², por lo que x² + y² = 11² �?? 2(24) = 121 �?? 48 = 73.
- x e y son raíces de t² �?? 11t + 24 = 0 = (t �?? 3)(t �?? 8).

Respuesta final
x² + y² = 73; {x, y} = {3, 8}.

Verificación
3 + 8 = 11, 3·8 = 24, 9 + 64 = 73. El discriminante 121 – 96 = 25 > 0, por lo que ambas raíces son reales.

Pasos:
1. Utiliza la identidad algebraica $x² + y² = (x + y)² - 2xy$.
2. Sustituye los valores dados $x + y = 11$ y $xy = 24$:
   $$x^2 + y^2 = 11^2 - 2(24) = 121 - 48 = 73$$
3. Para hallar $x$ y $y$, se forma la ecuación cuadrática cuyas raíces son $x$ y $y$:
   $$t^2 - (x+y)t + xy = 0 \implies t^2 - 11t + 24 = 0$$
4. Descompón la ecuación cuadrática en factores:
   $$(t - 3)(t - 8) = 0 \implies t = 3 \text{ o } t = 8$$

Respuesta final:
$x^2 + y^2 = 73$; par no ordenado $\{x, y\} = \{3, 8\}$.

Verificación:
$3 + 8 = 11$, $3 \times 8 = 24$ y $3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73$.

### Pasos

Supongamos que las longitudes de los lados positivos son \(a\) y \(b\).

El perímetro es de \(34\) cm:
\[
2(a+b)=34,
\]
por lo que
\[
a+b=17.
\]

La diagonal mide \(13\) cm, por lo que, según el teorema de Pitágoras,
\[
a^2+b^2=13^2=169.
\]

Utilizando
\[
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab,
\]
obtenemos
\[
17^2=169+2ab.
\]

Por lo tanto,
\[
289=169+2ab,
\]
\[
2ab=120,
\]
\[
ab=60.
\]

Las longitudes de los lados son raíces de
\[
t^2-17t+60=0.
\]

Descomponiendo en factores:
\[
(t-5)(t-12)=0.
\]

Por lo tanto, las longitudes de los lados son \(5\) cm y \(12\) cm. El área es
\[
A=ab=60\text{ cm}^2.
\]

Las dimensiones están determinadas porque su suma y su producto son fijos. La ecuación cuadrática tiene exactamente dos raíces positivas, \(5\) y \(12\), que dan lugar al mismo rectángulo, salvo por la permutación de la longitud y la anchura.

### Respuesta final

\[
\boxed{\text{Longitudes de los lados: }5\text{ cm y }12\text{ cm}}
\]
\[
\boxed{\text{Área: }60\text{ cm}^2}
\]

### Verificación

Perímetro:
\[
2(5+12)=2(17)=34\text{ cm}.
\]

Diagonal:
\[
\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ cm}.
\]

Área:
\[
5\cdot 12=60\text{ cm}^2.
\]

Pasos
- Supongamos que los lados son a y b > 0. Perímetro: 2(a+b) = 34 �?? a + b = 17.
- Diagonal (teorema de Pitágoras): a² + b² = 169.
- 2ab = (a + b)² �?? (a² + b²) = 289 �?? 169 = 120 �?? ab = 60.
- a y b son raíces de t² �?? 17t + 60 = 0 = (t �?? 5)(t �?? 12).

Respuesta final
Lados de 5 cm y 12 cm; área de 60 cm².

Verificación
2(5+12) = 34, 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², área = 60.
Por qué se determina: las dos condiciones fijan la suma y el producto de las longitudes de los lados, y una ecuación cuadrática monica viene determinada de forma única por la suma y el producto de sus raíces. El discriminante 289 – 240 = 49 > 0 da dos raíces positivas, que corresponden al mismo rectángulo salvo por el cambio de nombre de a y b; por lo tanto, las dimensiones son únicas como par no ordenado.

Pasos:
1. Supongamos que las longitudes de los lados son $a > 0$ y $b > 0$.
2. La ecuación del perímetro es $²(a + b) = 34, lo que implica que a + b = 17$.
3. Por el teorema de Pitágoras, la diagonal da $a² + b² = 13² = 169$.
4. Utilizando $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$:
   $$17^2 = 169 + 2ab \implies 289 = 169 + 2ab \implies 2ab = 120 \implies ab = 60$$
5. El área es $A = ab = 60\text{ cm}^2$.
6. Las longitudes de los lados $a$ y $b$ son las raíces positivas de $t^2 - 17t + 60 = 0$:
   $$(t - 5)(t - 12) = 0 \implies t = 5 \text{ o } t = 12$$
7. **Por qué se determinan las dimensiones:** El perímetro y la diagonal fijan de forma única tanto la suma $(a + b = 17)$ como el producto $(ab = 60)$ de las longitudes positivas de los lados. Un sistema que especifica la suma y el producto de dos números define de forma única el conjunto de raíces de un polinomio cuadrático, lo que da lugar a un par único de longitudes de los lados, salvo por el orden.

Respuesta final:
Longitudes de los lados: $5\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$; Área: $60\text{ cm}^2$. Las dimensiones quedan determinadas porque el perímetro y la diagonal fijan de forma única la suma y el producto de las longitudes de los lados adyacentes, lo que conduce a un conjunto único de soluciones cuadráticas positivas.

Verificación:
Perímetro: $2(5 + 12) = 34\text{ cm}$. Diagonal: $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$. Área: $5 \times 12 = 60\text{ cm}^2$.

### Pasos

Supongamos que el coste original es \(C\).

Un margen de beneficio del \(25\%\) multiplica el coste por
\[
1+0,25=1,25.
\]

Por lo tanto, el precio de venta es
\[
1,25C.
\]

Un descuento del \(20\%\) significa que el cliente paga \(80\%\) del precio de venta:
\[
0,80(1,25C)=120.
\]

Dado que
\[
0,80 \cdot 1,25 = 1,
\]
la ecuación queda en
\[
C = 120.
\]

El precio pagado es igual al coste original, por lo que la variación porcentual neta es
\[
\frac{120-120}{120}\cdot 100\%=0\%.
\]

### Respuesta final

\[
\boxed{\text{Coste original}=\$120}
\]
\[
\boxed{\text{Variación porcentual neta}=0\%}
\]

### Verificación

Un margen de beneficio del \(25\%\) sobre \(\$120\) da como resultado
\[
120(1,25)=\$150.
\]

Un descuento del \(20\%\) sobre \(\$150\) da como resultado
\[
150(0,80)=\$120.
\]

Por lo tanto, el precio pagado es exactamente igual al coste original.

Pasos
- Sea el coste = C. Precio de etiqueta = 1,25C.
- Precio de venta = 0,80 × 1,25C = 1,00C.
- Precio pagado = 120 × C = 120.
- Variación neta = (120 – 120)/120 = 0.

Respuesta final
Coste original = $120; variación neta entre el coste y el precio pagado = 0% (sin variación).

Verificación
120 �?? con un margen de beneficio del 25% �?? 150 �?? con un descuento del 20% �?? 150 �?? 30 = 120 �??. Fíjate en los multiplicadores: 1,25 × 0,80 = 1 exactamente, por lo que el margen de beneficio y el descuento se anulan independientemente del coste. (El resultado es antes de impuestos, tal y como se indica).

Pasos:
1. Sea $C > 0$ el coste original en dólares.
2. Margen de beneficio de 25%: precio marcado $M = C × (1 + 0,25) = 1,25C$.
3. Descuento de 20% sobre el precio marcado: precio pagado $P = M × (1 - 0,20) = 1,25C × 0,80 = 1,00C$.
4. Establecer $P = \$120$:
   $$1,00C = 120 \implies C = \$120$$
5. Variación porcentual neta entre el coste y el precio pagado:
   $$\text{Variación neta} = \frac{P - C}{C} \times 100\% = \frac{120 - 120}{120} \times 100\% = 0\%$$

Respuesta final:
Coste original: $\$120$; Variación porcentual neta: $0\%$.

Verificación:
Margen de beneficio: $\$120 \times 1,25 = \$150$. Descuento: $\$150 \times 0,80 = \$120$. El precio pagado es igual a $\$120$, y el coste es igual al precio pagado (variación neta de $0\%$).

### Pasos

Resuelve
\[
\sqrt{x+6}=x
\]
en el conjunto de los números reales.

Dado que una raíz cuadrada es no negativa, el lado derecho debe cumplir que
\[
x\ge 0.
\]
Además, el radicando requiere que \(x+6\ge 0\), lo cual se cumple automáticamente cuando \(x\ge 0\).

Elevamos al cuadrado ambos lados:
\[
x+6=x^2.
\]

Reorganizamos:
\[
x^2-x-6=0.
\]

Descomponemos en factores:
\[
(x-3)(x+2)=0.
\]

Las soluciones candidatas son
\[
x=3\quad\text{o}\quad x=-2.
\]

Ambas soluciones deben comprobarse en la ecuación original, ya que al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones extrañas.

Para \(x=3\):
\[
\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3,
\]
por lo que \(x=3\) es válido.

Para \(x=-2\):
\[
\sqrt{-2+6}=\sqrt{4}=2\ne -2,
\]
por lo que \(x=-2\) no es válido. No cumple la condición porque la raíz cuadrada principal siempre es no negativa, mientras que el miembro derecho propuesto es negativo.

### Respuesta final

\[
\boxed{x=3}
\]

### Verificación

Al sustituir en la ecuación original se obtiene
\[
\sqrt{3+6}=3,
\]
\[
3=3.
\]

La opción descartada \(x=-2\) da \(2=-2\), lo cual es falso.

Pasos
- Dominio/condiciones: se requiere que x + 6 ≠ 0 (x ≠ −6) y, dado que la raíz cuadrada principal es no negativa, x ≠ 0.
- Elevamos al cuadrado ambos lados: x + 6 = x² �?? x² �?? x �?? 6 = 0 �?? (x �?? 3)(x + 2) = 0 �?? x = 3 o x = �??2.
- Comprobación en la ecuación original: x = 3 �?? �??9 = 3 �??. x = �??2 �?? �??4 = 2 �?� �??2 �??.

Respuesta final
x = 3.

Verificación
(3 + 6) = 9 = 3 = x.
Por qué x = √2 no es válido: elevar al cuadrado no es reversible, convierte �??(x+6) = x en una ecuación que también se cumple con �??(x+6) = �??x. x = �??2 cumple esa segunda rama, pero incumple la condición x �?� 0, ya que la raíz principal no puede ser negativa. Se trata de una raíz extraña introducida por la elevación al cuadrado.

Pasos:
1. Ecuación: $\sqrt{x + 6} = x$.
2. Restricciones del dominio/condiciones:
   - Radicando no negativo: $x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$.
   - La raíz cuadrada principal no es negativa: $\sqrt{x + 6} \ge 0 \implies x \ge 0$.
   - Restricción combinada del dominio: $x \ge 0$.
3. Elevar al cuadrado ambos lados:
   $$x + 6 = x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0$$
4. Descomponer en factores:
   $$(x - 3)(x + 2) = 0 \implies \text{Valores posibles: } x = 3, x = -2$$
5. Comprobación de los valores candidatos en la ecuación original $\sqrt{x + 6} = x$:
   - Para $x = 3$: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$. Válido (miembro izquierdo = miembro derecho).
   - Para $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2$. Rechazado.
6. **Motivo del rechazo:** La función raíz cuadrada real principal $\sqrt{\cdot}$ siempre da un valor real no negativo ($\sqrt{4} = +2$). Dado que el lado derecho es $-2$, la ecuación $² = -2$ es falsa. $x = -2$ es una solución extraña introducida al elevar al cuadrado.

Respuesta final:
$x = 3$.

Verificación:
En el lado izquierdo, cuando $x = 3$: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3 = \text{lado derecho}$.
En el lado izquierdo, cuando $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2 = \text{lado derecho}$.

### Pasos

Calcula
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx.
\]

Utiliza la sustitución por \(u\):
\[
u=x^2.
\]

Entonces
\[
du=2x\,dx.
\]

Por lo tanto,
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx=\int e^u\,du.
\]

Integrando:
\[
\int e^u\,du=e^u+C.
\]

Sustituye \(u=x^2\):
\[
e^{x^2}+C.
\]

Esta antiderivada es válida para todo \(x\) real.

### Respuesta final

\[
\boxed{\int 2x e^{x^2}\,dx=e^{x^2}+C}
\]

### Verificación

Deriva el resultado utilizando la regla de la cadena:
\[
\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}+C\right)
=e^{x^2}\cdot 2x
=2x e^{x^2}.
\]

Esto coincide con el integrando original.

Pasos
- Sustitución: u = x², du = 2x dx.
- �?� 2x e^(x²) dx = �?� e^u du = e^u + C = e^(x²) + C.

Respuesta final
e^(x²) + C.

Verificación
d/dx [e^(x²) + C] = e^(x²) · d/dx(x²) = 2x e^(x²) (regla de la cadena). Válido para todo x real; el integrando es continuo en �?�.

Pasos:
1. Calcula $\int 2x e^{x^2} \, dx$ en el dominio $x \in (-\infty, \infty)$.
2. Nombre de la sustitución: sustitución $u$ con $u = x^2$.
3. Calcular la derivada: $du = 2x \, dx$.
4. Sustituye en la integral:
   $$\int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C$$
5. Sustituye de nuevo $u = x^2$:
   $$e^{x^2} + C$$

Respuesta final:
$e^{x^2} + C$  (Sustitución: $u = x^2$)

Verificación:
Deriva el resultado con respecto a $x$ utilizando la regla de la cadena:
$$\frac{d}{dx}\left(e^{x^2} + C\right) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + 0 = 2x e^{x^2}$$
De este modo se recupera el integrando original.