เครื่องมือแก้โจทย์คณิตศาสตร์ด้วย AI ที่ดีที่สุด (2026): เครื่องมือที่ผ่านการทดสอบเพื่อผลลัพธ์ที่แม่นยำ

### ขั้นตอน

ให้
\[
x+y=11,\qquad xy=24.
\]

ใช้
\[
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.
\]

ดังนั้น
\[
x^2+y^2=11^2-2(24)=121-48=73.
\]

เพื่อหาค่า \(x\) และ \(y\) ทั้งสองต้องเป็นรากของ
\[
t^2-(x+y)t+xy=0,
\]
ดังนั้น
\[
t^2-11t+24=0.
\]

การแยกตัวประกอบ:
\[
(t-3)(t-8)=0.
\]

ดังนั้น ค่าทั้งสองคือ \(3\) และ \(8\).

### คำตอบสุดท้าย

\[
\boxed{x^2+y^2=73},\qquad \boxed{\{x,y\}=\{3,8\}}.
\]

### การตรวจสอบ

\[
3+8=11,\qquad 3\cdot 8=24,
\]
และ
\[
3^2+8^2=9+64=73.
\]

ขั้นตอน
- (x+y)² = x² + 2xy + y², ดังนั้น x² + y² = 11² �?? 2(24) = 121 �?? 48 = 73.
- x และ y เป็นรากของ t² �?? 11t + 24 = 0 = (t �?? 3)(t �?? 8).

คำตอบสุดท้าย
x² + y² = 73; {x, y} = {3, 8}.

การตรวจสอบ
3 + 8 = 11 �??, 3·8 = 24 �??, 9 + 64 = 73 �??. ค่าแยกตัวประกอบ 121 �?? 96 = 25 > 0 ดังนั้น รากทั้งสองเป็นจำนวนจริง.

ขั้นตอน:
1. ใช้สมการพีชคณิต $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$.
2. แทนค่าที่กำหนดไว้ $x + y = 11$ และ $xy = 24$:
   $$x^2 + y^2 = 11^2 - 2(24) = 121 - 48 = 73$$
3. เพื่อหาค่าของ $x$ และ $y$ ให้สร้างสมการกำลังสองที่มีรากเป็น $x$ และ $y$:
   $$t^2 - (x+y)t + xy = 0 \implies t^2 - 11t + 24 = 0$$
4. แยกตัวประกอบของสมการกำลังสอง:
   $$(t - 3)(t - 8) = 0 \implies t = 3 \text{ หรือ } t = 8$$

คำตอบสุดท้าย:
$x^2 + y^2 = 73$; คู่ไม่เรียงลำดับ $\{x, y\} = \{3, 8\}$.

การตรวจสอบ:
$3 + 8 = 11$, $3 \times 8 = 24$, และ $3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73$.

### ขั้นตอน

สมมติว่าความยาวด้านบวกคือ \(a\) และ \(b\)

ความยาวรอบคือ \(34\) ซม.:
\[
2(a+b)=34,
\]
ดังนั้น
\[
a+b=17.
\]

เส้นทแยงมุมยาว \(13\) ซม. ดังนั้นตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส
\[
a^2+b^2=13^2=169.
\]

โดยใช้
\[
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab,
\]
เราจะได้
\[
17^2=169+2ab.
\]

ดังนั้น
\[
289=169+2ab,
\]
\[
2ab=120,
\]
\[
ab=60.
\]

ความยาวของด้านทั้งสองเป็นรากของ
\[
t^2-17t+60=0.
\]

การแยกตัวประกอบ:
\[
(t-5)(t-12)=0.
\]

ดังนั้น ความยาวของด้านคือ \(5\) ซม. และ \(12\) ซม. พื้นที่คือ
\[
A=ab=60\text{ ซม}^2.
\]

ขนาดของด้านถูกกำหนดไว้แล้ว เนื่องจากผลรวมและผลคูณของทั้งสองค่าคงที่ สมการกำลังสองนี้มีรากบวกสองค่าคือ \(5\) และ \(12\) ซึ่งให้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเดียวกัน โดยสามารถสลับความยาวและความกว้างกันได้

### คำตอบสุดท้าย

\[
\boxed{\text{ความยาวด้าน: }5\text{ ซม. และ }12\text{ ซม.}}
\]
\[
\boxed{\text{พื้นที่: }60\text{ ซม}^2}
\]

### การตรวจสอบ

รอบความยาว:
\[
2(5+12)=2(17)=34\text{ cm}.
\]

เส้นทแยงมุม:
\[
\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ ซม.}.
\]

พื้นที่:
\[
5\cdot 12=60\text{ ซม}^2.
\]

ขั้นตอน
- สมมติว่าด้านทั้งสองคือ a, b > 0. ความยาวรอบรูป: 2(a+b) = 34 ดังนั้น a + b = 17.
- เส้นทแยงมุม (พีทาโกรัส): a² + b² = 169.
- 2ab = (a+b)² �?? (a²+b²) = 289 �?? 169 = 120 �?? ab = 60.
- a, b เป็นรากของ t² �?? 17t + 60 = 0 = (t �?? 5)(t �?? 12).

คำตอบสุดท้าย
ด้านยาว 5 ซม. และ 12 ซม.; พื้นที่ 60 ซม.²

การตรวจสอบ
2(5+12) = 34 �??, 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² �??, พื้นที่ = 60 �??.
เหตุผลที่กำหนดได้: สองเงื่อนไขนี้กำหนดผลรวมและผลคูณของความยาวด้าน และสมการกำลังสองแบบโมนิกถูกกำหนดอย่างเอกเทศโดยผลรวมและผลคูณของรากของมัน ดิสคริมิแนนต์ 289 – 240 = 49 > 0 ให้รากสองค่าบวก ซึ่งคือรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเดียวกันเมื่อเปลี่ยนชื่อ a และ b ดังนั้นขนาดจึงเป็นคู่ที่ไม่เรียงลำดับและมีค่าเดียว.

ขั้นตอน:
1. สมมติว่าความยาวของด้านคือ $a > 0$ และ $b > 0$.
2. สมการหาความยาวรอบคือ $2(a + b) = 34 \implies a + b = 17$.
3. ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของเส้นทแยงมุมคือ $a^2 + b^2 = 13^2 = 169$.
4. ใช้สูตร $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$:
   $$17^2 = 169 + 2ab \implies 289 = 169 + 2ab \implies 2ab = 120 \implies ab = 60$$
5. พื้นที่คือ $A = ab = 60\text{ cm}^2$.
6. ความยาวของด้าน $a$ และ $b$ เป็นรากบวกของสมการ $t^2 - 17t + 60 = 0$:
   $$(t - 5)(t - 12) = 0 \implies t = 5 \text{ หรือ } t = 12$$
7. **เหตุผลที่ขนาดถูกกำหนด:** ความยาวรอบและเส้นทแยงมุมกำหนดทั้งผลรวม $(a+b = 17)$ และผลคูณ $(ab = 60)$ ของความยาวด้านบวกได้อย่างชัดเจน ระบบที่กำหนดผลรวมและผลคูณของสองจำนวนจะกำหนดชุดรากของพหุนามกำลังสองอย่างชัดเจน ซึ่งให้คู่ความยาวด้านที่เป็นเอกลักษณ์ (เมื่อพิจารณาตามลำดับ)

คำตอบสุดท้าย:
ความยาวด้าน: $5\text{ cm}$ และ $12\text{ cm}$; พื้นที่: $60\text{ cm}^2$. ขนาดถูกกำหนดเนื่องจากความยาวรอบและเส้นทแยงมุมกำหนดค่ารวมและผลคูณของความยาวด้านที่อยู่ติดกันได้อย่างชัดเจน ซึ่งนำไปสู่ชุดคำตอบกำลังสองที่เป็นบวกและมีค่าเดียว

การตรวจสอบ:
ความยาวรอบ: $2(5 + 12) = 34\text{ cm}$. เส้นทแยงมุม: $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$. พื้นที่: $5 \times 12 = 60\text{ cm}^2$.

### ขั้นตอน

สมมติว่าต้นทุนเดิมคือ \(C\)

การเพิ่มราคา \(25\%\) จะทำให้ต้นทุนเพิ่มขึ้นเป็น
\[
1+0.25=1.25.
\]

ดังนั้น ราคาที่ติดป้ายจะเป็น
\[
1.25C.
\]

ส่วนลด \(20\%\) หมายความว่าลูกค้าจะจ่าย \(80\%\) ของราคาที่ติดป้าย:
\[
0.80(1.25C)=120.
\]

เนื่องจาก
\[
0.80\cdot 1.25=1,
\]
สมการจึงกลายเป็น
\[
C=120.
\]

ราคาที่จ่ายเท่ากับต้นทุนเดิม ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงร้อยละสุทธิคือ
\[
\frac{120-120}{120}\cdot 100\%=0\%.
\]

### คำตอบสุดท้าย

\[
\boxed{\text{ต้นทุนเดิม}=\$120}
\]
\[
\boxed{\text{การเปลี่ยนแปลงร้อยละสุทธิ}=0\%}
\]

### การตรวจสอบ

การเพิ่มราคา \(25\%\) บน \(\$120\) ให้ผลเป็น
\[
120(1.25)=\$150.
\]

การลดราคา \(20\%\) จาก \(\$150\) จะได้
\[
150(0.80)=\$120.
\]

ดังนั้น ราคาที่จ่ายไปจึงเท่ากับต้นทุนเดิมพอดี.

ขั้นตอน
- สมมติว่าต้นทุน = C ราคาที่ติดป้าย = 1.25C
- ราคาขาย = 0.80 × 1.25C = 1.00C
- ราคาที่จ่าย = 120 × C = 120
- การเปลี่ยนแปลงสุทธิ = (120 – 120)/120 = 0.

คำตอบสุดท้าย
ต้นทุนเดิม = $120; การเปลี่ยนแปลงสุทธิจากต้นทุนไปยังราคาที่จ่าย = 0% (ไม่มีการเปลี่ยนแปลง)

การตรวจสอบ
120 �?? เพิ่มราคา 25% �?? 150 �?? ลดราคา 20% �?? 150 �?? 30 = 120 �??. สังเกตตัวคูณ: 1.25 × 0.80 = 1 พอดี ดังนั้นการเพิ่มราคาและส่วนลดจะหักล้างกันไม่ว่าต้นทุนจะเป็นเท่าใด (ผลลัพธ์นี้ยังไม่รวมภาษี ตามที่ระบุไว้)

ขั้นตอน:
1. สมมติว่า $C > 0$ เป็นราคาต้นทุนเดิมในดอลลาร์
2. อัตรากำไร 25%: ราคาที่ติดป้าย $M = C \times (1 + 0.25) = 1.25C$.
3. ส่วนลดของ 20% จากราคาที่แสดง: ราคาที่จ่าย $P = M \times (1 - 0.20) = 1.25C \times 0.80 = 1.00C$.
4. ตั้ง $P = \$120$:
   $$1.00C = 120 \implies C = \$120$$
5. เปอร์เซ็นต์การเปลี่ยนแปลงสุทธิจากต้นทุนไปยังราคาที่จ่าย:
   \text{การเปลี่ยนแปลงสุทธิ} = \frac{P - C}{C} \times 100 = \frac{120 - 120}{120} \times 100\% = 0\%$$

คำตอบสุดท้าย:
ต้นทุนเดิม: $\$120$; การเปลี่ยนแปลงร้อยละสุทธิ: $0\%$.

การตรวจสอบ:
อัตรากำไร: $\$120 \times 1.25 = \$150$. ส่วนลด: $\$150 \times 0.80 = \$120$. ราคาที่จ่ายเท่ากับ $\$120$ และต้นทุนเท่ากับราคาที่จ่าย ($0\%$ การเปลี่ยนแปลงสุทธิ).

### ขั้นตอน

แก้สมการ
\[
\sqrt{x+6}=x
\]
สำหรับจำนวนจริง

เนื่องจากรากที่สองเป็นค่าไม่ติดลบ ดังนั้นด้านขวาของสมการต้องเป็นไปตามเงื่อนไข
\[
x\ge 0.
\]
นอกจากนี้ ส่วนที่ถูกยกกำลังต้องเป็น \(x+6\ge 0\) ซึ่งจะเป็นจริงโดยอัตโนมัติเมื่อ \(x\ge 0\)

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง:
\[
x+6=x^2.
\]

จัดรูปใหม่:
\[
x^2-x-6=0.
\]

แยกตัวประกอบ:
\[
(x-3)(x+2)=0.
\]

คำตอบที่เป็นไปได้คือ
\[
x=3\quad\text{หรือ}\quad x=-2.
\]

ต้องตรวจสอบทั้งสองค่าในสมการเดิม เนื่องจากการยกกำลังสองอาจก่อให้เกิดคำตอบที่ไม่เกี่ยวข้อง

สำหรับ \(x=3\):
\[
\sqrt{3+6}=\sqrt9=3,
\]
ดังนั้น \(x=3\) เป็นคำตอบที่ถูกต้อง

สำหรับ \(x=-2\):
\[
\sqrt{-2+6}=\sqrt{4}=2\ne -2,
\]
ดังนั้น \(x=-2\) ไม่ถูกต้อง เนื่องจากรากที่สองหลักมีค่าไม่ติดลบเสมอ ในขณะที่ค่าด้านขวาที่เสนอมีค่าเป็นลบ

### คำตอบสุดท้าย

\[
\boxed{x=3}
\]

### การตรวจสอบ

เมื่อแทนค่าลงในสมการเดิม จะได้
\[
\sqrt{3+6}=3,
\]
\[
3=3.
\]

ค่าที่ปฏิเสธ \(x=-2\) ให้ผลลัพธ์ \(2=-2\) ซึ่งไม่ถูกต้อง.

ขั้นตอน
- ขอบเขต/เงื่อนไข: ต้องมี x + 6 ≥ 0 (x ≥ -6) และ เนื่องจากรากที่สองหลักเป็นค่าไม่ติดลบ จึงต้อง x ≥ 0.
- ยกกำลังสองทั้งสองข้าง: x + 6 = x² ≠ x² ≠ x ≠ 6 = 0 ≠ (x ≠ 3)(x + 2) = 0 ≠ x = 3 หรือ x = √2.
- ตรวจสอบในสมการเดิม: x = 3 ≠ 9 = 3 ≠. x = √2 ≠ 4 = 2 ≠ √2 ≠.

คำตอบสุดท้าย
x = 3.

การตรวจสอบ
(3 + 6)² = 9 = 3 = x².
เหตุผลที่ x² ไม่ถูกต้อง: การยกกำลังสองไม่สามารถย้อนกลับได้ มันเปลี่ยน �??(x+6) = x เป็นสมการที่ถูกพอใจโดย �??(x+6) = �??x ด้วย x = �??2 ถูกพอใจในสาขาที่สอง แต่ละเมิดเงื่อนไข x �?� 0 เพราะรากหลักไม่สามารถเป็นค่าลบได้ นี่คือรากที่ไม่เกี่ยวข้อง ซึ่งถูกสร้างขึ้นจากการยกกำลังสอง.

ขั้นตอน:
1. สมการ: $\sqrt{x + 6} = x$.
2. ข้อจำกัดของโดเมน/เงื่อนไข:
   - ส่วนในรากไม่ต่ำกว่าศูนย์: $x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$.
   - รากที่สองหลักต้องไม่ติดลบ: $\sqrt{x + 6} \ge 0 \implies x \ge 0$.
   - ข้อจำกัดของโดเมนรวม: $x \ge 0$.
3. ยกกำลังสองทั้งสองข้าง:
   $$x + 6 = x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0$$
4. แยกตัวประกอบ:
   $$(x - 3)(x + 2) = 0 \implies \text{คำตอบที่เป็นไปได้: } x = 3, x = -2$$
5. ตรวจสอบค่าที่เป็นไปได้ในสมการเดิม $\sqrt{x + 6} = x$:
   - สำหรับ $x = 3$: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$. ถูกต้อง (ด้านซ้าย = ด้านขวา).
   - สำหรับ $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2$. ถูกปฏิเสธ.
6. **เหตุผลที่ปฏิเสธ:** ฟังก์ชันรากที่สองจริงหลัก $\sqrt{\cdot}$ ให้ค่าจริงที่ไม่เป็นลบเสมอ ($\sqrt{4} = +2$). เนื่องจากด้านขวาคือ $-2$ ดังนั้นสมการ $2 = -2$ จึงเป็นเท็จ $x = -2$ เป็นคำตอบที่ไม่เกี่ยวข้องซึ่งเกิดจากการยกกำลังสอง

คำตอบสุดท้าย:
$x = 3$.

การตรวจสอบ:
ด้านซ้ายของสมการเมื่อ $x = 3$: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3 = \text{ด้านขวา}$.
ด้านซ้ายของสมการเมื่อ $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2 = \text{ด้านขวา}$.

### ขั้นตอน

หาค่า
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx.
\]

ใช้การแทนค่าด้วย \(u\):
\[
u=x^2.
\]

จากนั้น
\[
du=2x\,dx.
\]

ดังนั้น
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx=\int e^u\,du.
\]

ทำการหาค่าปริพันธ์:
\[
\int e^u\,du=e^u+C.
\]

แทนค่า \(u=x^2\):
\[
e^{x^2}+C.
\]

อนุพันธ์นี้ถูกต้องสำหรับ \(x\) ที่เป็นจำนวนจริงทุกค่า

### คำตอบสุดท้าย

\[
\boxed{\int 2x e^{x^2}\,dx=e^{x^2}+C}
\]

### การตรวจสอบ

หาอนุพันธ์ของผลลัพธ์โดยใช้กฎลูกโซ่:
\[
\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}+C\right)
=e^{x^2}\cdot 2x
=2x e^{x^2}.
\]

ผลลัพธ์นี้ตรงกับฟังก์ชันที่ถูกอินทิเกรตเดิม.

ขั้นตอน
- การแทนค่า: u = x², du = 2x dx.
- �?� 2x e^(x²) dx = �?� e^u du = e^u + C = e^(x²) + C.

คำตอบสุดท้าย
e^(x²) + C.

การตรวจสอบ
d/dx [e^(x²) + C] = e^(x²) · d/dx(x²) = 2x e^(x²) �?? (กฎโซ่). เป็นจริงสำหรับทุกค่า x ที่เป็นจำนวนจริง; ส่วนที่ถูกอินทิเกรตมีความต่อเนื่องบน �?�.

ขั้นตอน:
1. คำนวณ $\int 2x e^{x^2} \, dx$ ในพื้นที่ $x \in (-\infty, \infty)$.
2. ชื่อการแทนค่า: การแทนค่า u ด้วย u = x^2
3. คำนวณอนุพันธ์: ddu = 2x \, dx
4. แทนค่าลงในปริพันธ์:
   \int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C
5. แทนกลับ $u = x^2$:
   $$e^{x^2} + C$$

คำตอบสุดท้าย:
$e^{x^2} + C$  (การแทนค่า: $u = x^2$)

การตรวจสอบ:
หาอนุพันธ์ของผลลัพธ์ตาม $x$ โดยใช้กฎลูกโซ่:
$$\frac{d}{dx}\left(e^{x^2} + C\right) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + 0 = 2x e^{x^2}$$
ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันที่ถูกหาปริพันธ์เดิม.