Beste AI-wiskundeoplosser (2026): Geteste tools voor nauwkeurige resultaten

### Stappen

Gegeven
\[
x+y=11,\qquad xy=24.
\]

Gebruik
\[
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.
\]

Dus
\[
x^2+y^2=11^2-2(24)=121-48=73.
\]

Om \(x\) en \(y\) te bepalen, moeten ze de wortels zijn van
\[
t^2-(x+y)t+xy=0,
\]
dus
\[
t^2-11t+24=0.
\]

Ontbinden in factoren:
\[
(t-3)(t-8)=0.
\]

De twee waarden zijn dus \(3\) en \(8\).

### Eindantwoord

\[
\boxed{x^2+y^2=73},\qquad \boxed{\{x,y\}=\{3,8\}}.
\]

### Controle

\[
3+8=11,\qquad 3\cdot 8=24,
\]
en
\[
3^2+8^2=9+64=73.
\]

Stappen
- (x+y)² = x² + 2xy + y², dus x² + y² = 11² �?? 2(24) = 121 �?? 48 = 73.
- x en y zijn wortels van t² �?? 11t + 24 = 0 = (t �?? 3)(t �?? 8).

Eindantwoord
x² + y² = 73; {x, y} = {3, 8}.

Controle
3 + 8 = 11 �??, 3·8 = 24 �??, 9 + 64 = 73 �??. Discriminant 121 �?? 96 = 25 > 0, dus beide wortels zijn reëel.

Stappen:
1. Gebruik de algebraïsche identiteit $x² + y² = (x + y)² - 2xy$.
2. Vul de gegeven waarden $x + y = 11$ en $xy = 24$ in:
   $$x^2 + y^2 = 11^2 - 2(24) = 121 - 48 = 73$$
3. Om $x$ en $y$ te vinden, stel je de kwadratische vergelijking op waarvan de wortels $x$ en $y$ zijn:
   $$t^2 - (x+y)t + xy = 0 \implies t^2 - 11t + 24 = 0$$
4. Factoriseer de kwadratische vergelijking:
   $$(t - 3)(t - 8) = 0 \implies t = 3 \text{ of } t = 8$$

Eindantwoord:
$x^2 + y^2 = 73$; ongeordend paar $\{x, y\} = \{3, 8\}$.

Controle:
$3 + 8 = 11$, $3 \times 8 = 24$, en $3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73$.

### Stappen

Stel dat de lengtes van de positieve zijden \(a\) en \(b\) zijn.

De omtrek is \(34\) cm:
\[
2(a+b)=34,
\]
dus
\[
a+b=17.
\]

De diagonaal is \(13\) cm, dus volgens de stelling van Pythagoras geldt:
\[
a^2+b^2=13^2=169.
\]

Met behulp van
\[
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab,
\]
krijgen we
\[
17^2=169+2ab.
\]

Daarom geldt:
\[
289=169+2ab,
\]
\[
2ab=120,
\]
\[
ab=60.
\]

De zijlengtes zijn wortels van
\[
t^2-17t+60=0.
\]

Ontbinden in factoren:
\[
(t-5)(t-12)=0.
\]

De zijlengtes zijn dus \(5\) cm en \(12\) cm. De oppervlakte is
\[
A=ab=60\text{ cm}^2.
\]

De afmetingen zijn vastgelegd omdat hun som en hun product vastliggen. De kwadratische vergelijking heeft precies twee positieve wortels, \(5\) en \(12\), die dezelfde rechthoek opleveren, op het verwisselen van lengte en breedte na.

### Eindantwoord

\[
\boxed{\text{Zijlengtes: }5\text{ cm en }12\text{ cm}}
\]
\[
\boxed{\text{Oppervlakte: }60\text{ cm}^2}
\]

### Controle

Omtrek:
\[
2(5+12)=2(17)=34\text{ cm}.
\]

Diagonaal:
\[
\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ cm}.
\]

Oppervlakte:
\[
5\cdot 12=60\text{ cm}^2.
\]

Stappen
- Stel dat de zijden a en b > 0 zijn. Omtrek: 2(a+b) = 34 �?? a + b = 17.
- Diagonaal (Pythagoras): a² + b² = 169.
- 2ab = (a+b)² �?? (a²+b²) = 289 �?? 169 = 120 �?? ab = 60.
- a en b zijn wortels van t² �?? 17t + 60 = 0 = (t �?? 5)(t �?? 12).

Eindantwoord
Zijden 5 cm en 12 cm; oppervlakte 60 cm².

Controle
2(5+12) = 34, 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², oppervlakte = 60.
Waarom uniek bepaald: de twee voorwaarden leggen de som en het product van de zijlengtes vast, en een monische kwadratische vergelijking wordt eenzijdig bepaald door de som en het product van de wortels. Discriminant 289 �?? 240 = 49 > 0 levert twee positieve wortels op, die op een herbenoeming van a en b na dezelfde rechthoek vormen �?? dus de afmetingen zijn uniek als een ongeordend paar.

Stappen:
1. Stel dat de zijlengtes $a > 0$ en $b > 0$ zijn.
2. De omtrekvergelijking is $²(a + b) = 34, waaruit volgt dat a + b = 17$.
3. Volgens de stelling van Pythagoras geldt voor de diagonaal: $a^2 + b^2 = 13^2 = 169$.
4. Gebruik $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$:
   $$17^2 = 169 + 2ab \implies 289 = 169 + 2ab \implies 2ab = 120 \implies ab = 60$$
5. De oppervlakte is $A = ab = 60\text{ cm}^2$.
6. De zijlengtes $a$ en $b$ zijn de positieve wortels van $t^2 - 17t + 60 = 0$:
   $$(t - 5)(t - 12) = 0 \implies t = 5 \text{ of } t = 12$$
7. **Waarom de afmetingen vastliggen:** De omtrek en de diagonaal bepalen op unieke wijze zowel de som $(a+b = 17)$ als het product $(ab = 60)$ van de positieve zijlengtes. Een systeem dat de som en het product van twee getallen specificeert, definieert op unieke wijze de verzameling wortels van een kwadratische veelterm, wat een uniek paar zijlengtes oplevert, op de volgorde na.

Eindantwoord:
Zijlengtes: $5\text{ cm}$ en $12\text{ cm}$; Oppervlakte: $60\text{ cm}^2$. De afmetingen zijn bepaald omdat de omtrek en de diagonaal de som en het product van de lengtes van de aangrenzende zijden op unieke wijze vastleggen, wat leidt tot een unieke verzameling positieve kwadratische oplossingen.

Controle:
Omtrek: $2(5 + 12) = 34\text{ cm}$. Diagonaal: $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$. Oppervlakte: $5 \times 12 = 60\text{ cm}^2$.

### Stappen

Stel dat de oorspronkelijke kostprijs \(C\) is.

Een winstmarge van \(25\%\) vermenigvuldigt de kostprijs met
\[
1+0,25=1,25.
\]

De prijs op het prijskaartje is daarom
\[
1,25C.
\]

Een korting van \(20\%\) betekent dat de klant \(80\%\) van de prijs op het prijskaartje betaalt:
\[
0,80(1,25C)=120.
\]

Aangezien
\[
0,80\cdot 1,25=1,
\]
wordt de vergelijking
\[
C=120.
\]

De betaalde prijs is gelijk aan de oorspronkelijke kosten, dus de netto procentuele verandering is
\[
\frac{120-120}{120}\cdot 100\%=0\%.
\]

### Eindantwoord

\[
\boxed{\text{Oorspronkelijke kosten}=\$120}
\]
\[
\boxed{\text{Netto procentuele verandering}=0\%}
\]

### Controle

Een opslag van \(25\%\) op \(\$120\) levert op:
\[
120(1,25)=\$150.
\]

Een korting van \(20\%\) op \(\$150\) levert op:
\[
150(0,80)=\$120.
\]

De betaalde prijs is dus precies gelijk aan de oorspronkelijke prijs.

Stappen
- Stel dat de kostprijs = C is. De prijs op het prijskaartje = 1,25C.
- Verkoopprijs = 0,80 × 1,25C = 1,00C.
- Betaalde prijs = 120 × C = 120.
- Nettoverandering = (120 – 120)/120 = 0.

Eindantwoord
Oorspronkelijke kostprijs = $120; nettoverandering van kostprijs naar betaalde prijs = 0% (geen verandering).

Controle
120 �?? met een opslag van 25% �?? 150 �?? met een korting van 20% �?? 150 �?? 30 = 120 �??. Let op de vermenigvuldigingsfactoren: 1,25 �? 0,80 = precies 1, dus de prijsverhoging en de korting heffen elkaar op, ongeacht de kostprijs. (Het resultaat is exclusief belasting, zoals vermeld.)

Stappen:
1. Stel dat $C > 0$ de oorspronkelijke kosten in dollars zijn.
2. Prijsverhoging van 25%: Prijs $M = C \times (1 + 0,25) = 1,25C$.
3. Korting van 20% op de prijs met opslag: Betaalde prijs $P = M \times (1 - 0,20) = 1,25C \times 0,80 = 1,00C$.
4. Stel $P = \$120$:
   $$1,00C = 120 \implies C = \$120$$
5. Netto procentuele verandering van kostprijs naar betaalde prijs:
   $$\text{Netto verandering \%} = \frac{P - C}{C} \times 100\% = \frac{120 - 120}{120} \times 100\% = 0\%$$

Eindantwoord:
Oorspronkelijke kostprijs: $\$120$; Netto procentuele verandering: $0\%$.

Controle:
Winstmarge: $\$120 \times 1,25 = \$150$. Korting: $\$150 \times 0,80 = \$120$. De betaalde prijs komt overeen met $\$120$, en de kosten zijn gelijk aan de betaalde prijs ($0\%$ nettoverandering).

### Stappen

Los de vergelijking
\[
\sqrt{x+6}=x
\]
op over de reële getallen.

Omdat een vierkantswortel niet-negatief is, moet de rechterkant voldoen aan
\[
x\ge 0.
\]
Bovendien vereist de radicand dat \(x+6\ge 0\) geldt, waaraan automatisch wordt voldaan wanneer \(x\ge 0\).

Kwadrateer beide zijden:
\[
x+6=x^2.
\]

Herschik:
\[
x^2-x-6=0.
\]

Factoriseer:
\[
(x-3)(x+2)=0.
\]

De oplossingen zijn
\[
x=3\quad\text{of}\quad x=-2.
\]

Beide mogelijkheden moeten in de oorspronkelijke vergelijking worden gecontroleerd, omdat het kwadrateren extra oplossingen kan opleveren.

Voor \(x=3\):
\[
\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3,
\]
dus \(x=3\) is geldig.

Voor \(x=-2\):
\[
\sqrt{-2+6}=\sqrt{4}=2\ne -2,
\]
dus \(x=-2\) is ongeldig. Dit gaat niet op omdat de hoofdwortel altijd niet-negatief is, terwijl de voorgestelde rechterlid negatief is.

### Eindantwoord

\[
\boxed{x=3}
\]

### Controle

Substitutie in de oorspronkelijke vergelijking levert op:
\[
\sqrt{3+6}=3,
\]
\[
3=3.
\]

De afgewezen kandidaat \(x=-2\) levert \(2=-2\) op, wat onjuist is.

Stappen
- Definitiegebied/voorwaarden: x + 6 ≠ 0 (x ≠ −6) en, aangezien de hoofdwortel niet-negatief is, geldt x ≠ 0.
- Verhef beide zijden tot het kwadraat: x + 6 = x² �?? x² �?? x �?? 6 = 0 �?? (x �?? 3)(x + 2) = 0 �?? x = 3 of x = �??2.
- Controleer in de oorspronkelijke vergelijking: x = 3 �?? �??9 = 3 �??. x = �??2 �?? �??4 = 2 �?� �??2 �??.

Eindantwoord
x = 3.

Controle
(3 + 6) = 9 = 3 = x.
Waarom x = 2 niet klopt: kwadrateren is niet omkeerbaar, het verandert �??(x+6) = x in een vergelijking die ook wordt vervuld door �??(x+6) = �??x. x = �??2 voldoet aan die tweede tak, maar het schendt de voorwaarde x �?� 0 omdat de hoofdwortel niet negatief kan zijn. Het is een vreemde wortel die door het kwadrateren is geïntroduceerd.

Stappen:
1. Vergelijking: $\sqrt{x + 6} = x$.
2. Beperkingen op het definitiegebied/voorwaarden:
   - Radicaal niet-negatief: $x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$.
   - De hoofdwortel is niet-negatief: $\sqrt{x + 6} \ge 0 \implies x \ge 0$.
   - Gecombineerde domeinbeperking: $x \ge 0$.
3. Verhef beide zijden tot het kwadraat:
   $$x + 6 = x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0$$
4. Ontbinden in factoren:
   $$(x - 3)(x + 2) = 0 \implies \text{Mogelijke waarden: } x = 3, x = -2$$
5. Controleer de kandidaatwaarden in de oorspronkelijke vergelijking $\sqrt{x + 6} = x$:
   - Voor $x = 3$: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$. Geldig (linkerkant = rechterkant).
   - Voor $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2$. Afgewezen.
6. **Reden voor afwijzing:** De belangrijkste reële vierkantswortelfunctie $\sqrt{\cdot}$ levert altijd een niet-negatieve reële waarde op ($\sqrt{4} = +2$). Aangezien de rechterkant $-2$ is, is de vergelijking $2 = -2$ onwaar. $x = -2$ is een vreemde oplossing die door het kwadrateren is ontstaan.

Eindantwoord:
$x = 3$.

Controle:
Linkerkant bij $x = 3$: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3 = \text{rechterkant}$.
Linkerkant bij $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2 = \text{rechterkant}$.

### Stappen

Bereken
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx.
\]

Gebruik de \(u\)-vervanging:
\[
u=x^2.
\]

Dan geldt
\[
du=2x\,dx.
\]

Daarom geldt
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx=\int e^u\,du.
\]

Integreren:
\[
\int e^u\,du=e^u+C.
\]

Vervang \(u=x^2\):
\[
e^{x^2}+C.
\]

Deze primitieve geldt voor alle reële \(x\).

### Eindantwoord

\[
\boxed{\int 2x e^{x^2}\,dx=e^{x^2}+C}
\]

### Controle

Differentiër het resultaat met behulp van de kettingregel:
\[
\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}+C\right)
=e^{x^2}\cdot 2x
=2x e^{x^2}.
\]

Dit komt overeen met de oorspronkelijke integraalfunctie.

Stappen
- Substitutie: u = x², du = 2x dx.
- �?� 2x e^(x²) dx = �?� e^u du = e^u + C = e^(x²) + C.

Eindantwoord
e^(x²) + C.

Controle
d/dx [e^(x²) + C] = e^(x²) · d/dx(x²) = 2x e^(x²) �?? (kettingregel). Geldt voor alle reële x; de integraalfunctie is continu op �?�.

Stappen:
1. Bereken $\int 2x e^{x^2} \, dx$ over het domein $x \in (-\infty, \infty)$.
2. Naam van de substitutie: $u$-substitutie met $u = x^2$.
3. Bereken de differentiaal: $du = 2x \, dx$.
4. Substitueer in de integraal:
   $$\int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C$$
5. Substitueer $u = x^2$ terug:
   $$e^{x^2} + C$$

Eindantwoord:
$e^{x^2} + C$  (Vervanging: $u = x^2$)

Controle:
Differentieer het resultaat ten opzichte van $x$ met behulp van de kettingregel:
$$\frac{d}{dx}\left(e^{x^2} + C\right) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + 0 = 2x e^{x^2}$$
Hiermee krijgen we de oorspronkelijke integraalfunctie terug.