최고의 AI 수학 풀이 (2026): 정확한 결과를 위한 검증된 도구

### 단계

주어진 조건
\[
x+y=11,\qquad xy=24.
\]

다음 공식을 이용한다.
\[
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.
\]

따라서
\[
x^2+y^2=11^2-2(24)=121-48=73.
\]

\(x\)와 \(y\)를 구하려면, 이 두 변수는 다음 식의 근이어야 한다.
\[
t^2-(x+y)t+xy=0,
\]
따라서
\[
t^2-11t+24=0.
\]

인수분해하면:
\[
(t-3)(t-8)=0.
\]

따라서 두 값은 \(3\)과 \(8\)이다.

### 최종 답

\[
\boxed{x^2+y^2=73},\qquad \boxed{\{x,y\}=\{3,8\}}.
\]

### 검증

\[
3+8=11,\qquad 3\cdot 8=24,
\]
그리고
\[
3^2+8^2=9+64=73.
\]

단계
- (x+y)² = x² + 2xy + y²이므로, x² + y² = 11² ÷ 2(24) = 121 ÷ 48 = 73.
- x와 y는 t² �?? 11t + 24 = 0 = (t �?? 3)(t �?? 8)의 근이다.

최종 답
x² + y² = 73; {x, y} = {3, 8}.

검증
3 + 8 = 11 �??, 3·8 = 24 �??, 9 + 64 = 73 �??. 판별식 121 �?? 96 = 25 > 0이므로, 두 근 모두 실수이다.

단계:
1. 대수적 항등식 $x² + y² = (x + y)² - 2xy$를 이용한다.
2. 주어진 값 $x + y = 11$와 $xy = 24$를 대입합니다:
   $$x^2 + y^2 = 11^2 - 2(24) = 121 - 48 = 73$$
3. $x$와 $y$를 구하려면, 근이 $x$와 $y$인 이차 방정식을 세우십시오:
   $$t^2 - (x+y)t + xy = 0 \implies t^2 - 11t + 24 = 0$$
4. 이차 방정식을 인수분해하십시오:
   $$(t - 3)(t - 8) = 0 \implies t = 3 \text{ 또는 } t = 8$$

최종 답:
$x^2 + y^2 = 73$; 무순서 쌍 $\{x, y\} = \{3, 8\}$.

검증:
$3 + 8 = 11$, $3 \times 8 = 24$, 그리고 $3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73$.

### 단계

양변의 길이를 \(a\)와 \(b\)라고 하자.

둘레는 \(34\) cm이다:
\[
2(a+b)=34,
\]
따라서
\[
a+b=17.
\]

대각선의 길이는 \(13\) cm이므로, 피타고라스 정리에 따라,
\[
a^2+b^2=13^2=169.
\]

다음 식을 이용하면
\[
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab,
\]
다음과 같은 식을 얻는다.
\[
17^2=169+2ab.
\]

따라서,
\[
289=169+2ab,
\]
\[
2ab=120,
\]
\[
ab=60.
\]

변의 길이는 다음 식의 근입니다.
\[
t^2-17t+60=0.
\]

인수분해하면:
\[
(t-5)(t-12)=0.
\]

따라서 변의 길이는 \(5\) cm와 \(12\) cm이다. 면적은
\[
A=ab=60\text{ cm}^2.
\]

길이와 너비의 합과 곱이 고정되어 있으므로 치수가 결정됩니다. 이 2차 방정식은 정확히 \(5\)와 \(12\)라는 두 개의 양의 근을 가지며, 이는 길이와 너비를 서로 바꿔도 동일한 직사각형을 이룹니다.

### 최종 답

\[
\boxed{\text{변의 길이: }5\text{ cm 및 }12\text{ cm}}
\]
\[
\boxed{\text{면적: }60\text{ cm}^2}
\]

### 검증

둘레:
\[
2(5+12)=2(17)=34\text{ cm}.
\]

대각선:
\[
\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ cm}.
\]

면적:
\[
5\cdot 12=60\text{ cm}^2.
\]

단계
- 변의 길이를 a, b (a, b > 0)라고 하자. 둘레: 2(a+b) = 34 �?? a + b = 17.
- 대각선 (피타고라스 정리): a² + b² = 169.
- 2ab = (a+b)² �?? (a²+b²) = 289 �?? 169 = 120 �?? ab = 60.
- a, b는 t²의 근이다. 따라서 17t + 60 = 0 = (t ≠ 5)(t ≠ 12).

최종 답
변의 길이는 5 cm와 12 cm이며, 면적은 60 cm²이다.

검증
2(5+12) = 34, 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², 면적 = 60.
결정된 이유: 두 조건은 변의 길이의 합과 곱을 고정하며, 1차 인자만 있는 2차식은 근의 합과 곱에 의해 유일하게 결정된다. 판별식 289 �?? 240 = 49 > 0은 두 개의 양의 근을 주며, 이는 a와 b의 표기만 바꾸면 동일한 직사각형이므로, 차원은 순서가 정해지지 않은 쌍으로서 유일하게 결정된다.

단계:
1. 변의 길이를 $a > 0$, $b > 0$라고 하자.
2. 둘레의 방정식은 $²(a + b) = 34이므로, a + b = 17$이다.
3. 피타고라스 정리에 따라 대각선의 제곱은 $a² + b² = 13² = 169$가 된다.
4. $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$를 이용하면:
   $$17^2 = 169 + 2ab \implies 289 = 169 + 2ab \implies 2ab = 120 \implies ab = 60$$
5. 면적은 $A = ab = 60\text{ cm}^2$이다.
6. 변의 길이 $a$와 $b$는 $t^2 - 17t + 60 = 0$의 양의 근이다:
   $$(t - 5)(t - 12) = 0 \implies t = 5 \text{ 또는 } t = 12$$
7. **차원이 결정되는 이유:** 둘레와 대각선은 양의 변의 길이의 합 $(a+b = 17)$와 곱 $(ab = 60)$를 모두 유일하게 결정한다. 두 수의 합과 곱을 지정하는 체계는 이차 다항식의 근의 집합을 유일하게 정의하며, 순서를 고려하지 않을 때 한 쌍의 변 길이를 유일하게 결정합니다.

최종 답:
변의 길이: $5\text{ cm}$와 $12\text{ cm}$; 면적: $60\text{ cm}^2$. 둘레와 대각선이 인접한 변의 길이의 합과 곱을 유일하게 결정하므로, 차원이 결정되며, 이는 유일한 양의 이차 방정식 해 집합으로 이어집니다.

검증:
둘레: $2(5 + 12) = 34\text{ cm}$. 대각선: $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$. 면적: $5 \times 12 = 60\text{ cm}^2$.

### 단계

원가를 \(C\)라고 하자.

\(25\%\)의 가산율은 원가에 다음의 배수를 곱한 값이다.
\[
1+0.25=1.25.
\]

따라서 표시 가격은
\[
1.25C.
\]

\(20\%\) 할인은 고객이 표시 가격의 \(80\%\)를 지불함을 의미합니다:
\[
0.80(1.25C)=120.
\]

\[
0.80\cdot 1.25=1,
\]
이므로, 이 방정식은
\[
C=120.
\]

지불한 가격은 원래 원가와 같으므로, 순 백분율 변화율은
\[
\frac{120-120}{120}\cdot 100\%=0\%.
\]

### 최종 답

\[
\boxed{\text{원가}=\$120}
\]
\[
\boxed{\text{순 백분율 변화}=0\%}
\]

### 검증

\(\$120\)에 \(25\%\)의 마진을 적용하면
\[
120(1.25)=\$150.
\]

\(\$150\)에 \(20\%\) 할인을 적용하면
\[
150(0.80)=\$120.
\]

따라서 지불한 가격은 원래 원가와 정확히 일치한다.

단계
- 원가를 C라고 하자. 표시 가격은 1.25C이다.
- 판매 가격 = 0.80 × 1.25C = 1.00C.
- 지불 가격 = 120 × C = 120.
- 순변동액 = (120 – 120)/120 = 0.

최종 답
원가 = $120; 원가에서 지불 가격까지의 순변동액 = 0% (변동 없음).

검증
120에 25%의 마진을 더하고, 150에 20%의 할인을 적용한 후, 150에 30을 더하면 120이 됩니다. 배수를 주의 깊게 살펴보세요: 1.25 × 0.80 = 정확히 1이므로, 원가에 관계없이 마크업과 할인이 상쇄됩니다. (명시된 바와 같이, 결과는 세금 적용 전 금액입니다.)

단계:
1. $C > 0$를 달러 단위의 원래 원가로 가정한다.
2. 25%의 마크업: 표시 가격 $M = C × (1 + 0.25) = 1.25C$.
3. 표시 가격에 대한 20% 할인: 실제 지불 가격 $P = M × (1 - 0.20) = 1.25C × 0.80 = 1.00C$.
4. $P = \$120$로 설정:
   $$1.00C = 120 \implies C = \$120$$
5. 원가에서 지불 가격까지의 순 백분율 변화:
   $$\text{순 변화 \%} = \frac{P - C}{C} \times 100\% = \frac{120 - 120}{120} \times 100\% = 0\%$$

최종 답:
원가: $\$120$; 순 백분율 변화: $0\%$.

검증:
마진: $\$120 \times 1.25 = \$150$. 할인: $\$150 \times 0.80 = \$120$. 지불한 가격은 $\$120$와 일치하며, 원가는 지불한 가격과 동일합니다 ($0\%$ 순 변동액).

### 단계

다음 식을
\[
\sqrt{x+6}=x
\]
실수에서 풀기.

제곱근은 비음수이므로, 우변은 다음 조건을 만족해야 한다.
\[
x\ge 0.
\]
또한, 피제곱항은 \(x+6\ge 0\)을 요구하는데, 이는 \(x\ge 0\)일 때 자동으로 성립합니다.

양변을 제곱합니다:
\[
x+6=x^2.
\]

변형하면:
\[
x^2-x-6=0.
\]

인수분해하면:
\[
(x-3)(x+2)=0.
\]

해의 후보는
\[
x=3\quad\text{또는}\quad x=-2.
\]

제곱 연산을 통해 불필요한 해가 생길 수 있으므로, 두 후보 값 모두를 원래 방정식으로 검증해야 합니다.

\(x=3\)의 경우:
\[
\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3,
\]
따라서 \(x=3\)은 유효합니다.

\(x=-2\)의 경우:
\[
\sqrt{-2+6}=\sqrt{4}=2\ne -2,
\]
따라서 \(x=-2\)는 유효하지 않습니다. 주 제곱근은 항상 비음수인 반면, 제안된 우변은 음수이므로 성립하지 않습니다.

### 최종 답

\[
\boxed{x=3}
\]

### 검증

원래 방정식에 대입하면
\[
\sqrt{3+6}=3,
\]
\[
3=3.
\]

거부된 후보 \(x=-2\)를 대입하면 \(2=-2\)가 되는데, 이는 거짓이다.

단계
- 정의역/조건: x + 6 ≠ 0 (x ≠ -6)이어야 하며, 주제곱근은 비음수이므로 x ≠ 0이어야 한다.
- 양변을 제곱합니다: x + 6 = x² �?? x² �?? x �?? 6 = 0 �?? (x �?? 3)(x + 2) = 0 �?? x = 3 또는 x = �??2.
- 원래 방정식에 대입하여 검증: x = 3 �?? �??9 = 3 �??. x = �??2 �?? �??4 = 2 �?� �??2 �??.

최종 답
x = 3.

검증
(3 + 6) = 9 = 3 = x.
x = 2가 성립하지 않는 이유: 제곱 연산은 가역적이지 않기 때문에 이는 �??(x+6) = x를 �??(x+6) = �??x로도 성립하는 방정식으로 바꿔버립니다. x = �??2는 두 번째 분기를 만족하지만, 주근은 음수가 될 수 없으므로 x �?� 0이라는 조건을 위반합니다. 이는 제곱 연산에 의해 도입된 불필요한 근입니다.

단계:
1. 방정식: $\sqrt{x + 6} = x$.
2. 정의역/조건 제한:
   - 피제곱근이 비음수여야 함: $x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$.
   - 제곱근의 피제수가 0 이상: $\sqrt{x + 6} \ge 0 \implies x \ge 0$.
   - 결합된 정의역 제한: $x \ge 0$.
3. 양변을 제곱:
   $$x + 6 = x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0$$
4. 인수분해:
   $$(x - 3)(x + 2) = 0 \implies \text{해: } x = 3, x = -2$$
5. 원래 방정식 $\sqrt{x + 6} = x$에서 후보값을 대입하여 확인:
   - $x = 3$인 경우: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$. 유효함 (좌변 = 우변).
   - $x = -2$인 경우: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2$. 기각.
6. **거부 이유:** 주 실수 제곱근 함수 $\sqrt{\cdot}$는 항상 비음의 실수 값을 반환합니다 ($\sqrt{4} = +2$). 우변이 $-2$이므로, 방정식 $² = -2$는 성립하지 않습니다. $x = -2$는 제곱 과정에서 도입된 외래 해입니다.

최종 답:
$x = 3$.

검증:
$x = 3$일 때 좌변: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3 = \text{우변}$.
$x = -2$일 때 좌변: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2 = \text{우변}$.

### 단계

다음 적분을 구하시오.
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx.
\]

\(u\) 대입법을 사용한다:
\[
u=x^2.
\]

그러면
\[
du=2x\,dx.
\]

따라서,
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx=\int e^u\,du.
\]

적분하면:
\[
\int e^u\,du=e^u+C.
\]

\(u=x^2\)을 대입하면:
\[
e^{x^2}+C.
\]

이 원시함수는 모든 실수 \(x\)에 대해 성립합니다.

### 최종 답안

\[
\boxed{\int 2x e^{x^2}\,dx=e^{x^2}+C}
\]

### 검증

연쇄 법칙을 사용하여 결과의 미분을 구합니다:
\[
\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}+C\right)
=e^{x^2}\cdot 2x
=2x e^{x^2}.
\]

이는 원래의 적분식과 일치합니다.

단계
- 대입: u = x², du = 2x dx.
- �?� 2x e^(x²) dx = �?� e^u du = e^u + C = e^(x²) + C.

최종 답
e^(x²) + C.

검증
d/dx [e^(x²) + C] = e^(x²) · d/dx(x²) = 2x e^(x²) (연쇄법칙). 모든 실수 x에 대해 성립하며, 적분함수는 ∞에서 연속적이다.

단계:
1. 영역 $x ∈ (-\infty, \infty)$에서 $\int 2x e^{x^2} \, dx$를 구하십시오.
2. 대입법: $u$ 대입법 ($u = x^2$).
3. 미분 계산: $du = 2x \, dx$.
4. 적분에 대입:
   $$\int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C$$
5. $u = x^2$를 역대입:
   $$e^{x^2} + C$$

최종 답:
$ e^{x^2} + C$  (대입: $ u = x^2$)

검증:
연쇄 법칙을 사용하여 결과를 $ x$에 대해 미분합니다:
$$\frac{d}{dx}\left(e^{x^2} + C\right) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + 0 = 2x e^{x^2}$$
이로써 원래의 적분식이 다시 얻어집니다.