Лучший искусственный интеллект для решения математических задач (2026): Проверенные инструменты для получения точных результатов

### Шаги

Задано
\[
x+y=11,\qquad xy=24.
\]

Используем
\[
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.
\]

Следовательно,
\[
x^2+y^2=11^2-2(24)=121-48=73.
\]

Чтобы определить \(x\) и \(y\), они должны быть корнями уравнения
\[
t^2-(x+y)t+xy=0,
\]
то есть
\[
t^2-11t+24=0.
\]

Разложение на множители:
\[
(t-3)(t-8)=0.
\]

Следовательно, этими двумя значениями являются \(3\) и \(8\).

### Окончательный ответ

\[
\boxed{x^2+y^2=73},\qquad \boxed{\{x,y\}=\{3,8\}}.
\]

### Проверка

\[
3+8=11,\qquad 3\cdot 8=24,
\]
и
\[
3^2+8^2=9+64=73.
\]

Шаги
- (x+y)² = x² + 2xy + y², следовательно, x² + y² = 11² �?? 2(24) = 121 �?? 48 = 73.
- x и y являются корнями уравнения t² – 11t + 24 = 0 = (t – 3)(t – 8).

Окончательный ответ
x² + y² = 73; {x, y} = {3, 8}.

Проверка
3 + 8 = 11, 3·8 = 24, 9 + 64 = 73. Дискриминант 121 – 96 = 25 > 0, поэтому оба корня действительны.

Шаги:
1. Воспользуйтесь алгебраическим тождеством $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$.
2. Подставьте заданные значения $x + y = 11$ и $xy = 24$:
   $$x^2 + y^2 = 11^2 - 2(24) = 121 - 48 = 73$$
3. Чтобы найти $x$ и $y$, построим квадратное уравнение, корнями которого являются $x$ и $y$:
   $$t^2 - (x+y)t + xy = 0 \implies t^2 - 11t + 24 = 0$$
4. Разберите квадратное уравнение на множители:
   $$(t - 3)(t - 8) = 0 \implies t = 3 \text{ или } t = 8$$

Окончательный ответ:
$x^2 + y^2 = 73$; неупорядоченная пара $\{x, y\} = \{3, 8\}$.

Проверка:
$3 + 8 = 11$, $3 \times 8 = 24$, и $3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73$.

### Шаги

Пусть длины положительных сторон равны \(a\) и \(b\).

Периметр равен \(34\) см:
\[
2(a+b)=34,
\]
следовательно,
\[
a+b=17.
\]

Диагональ равна \(13\) см, поэтому по теореме Пифагора
\[
a^2+b^2=13^2=169.
\]

Используя формулу
\[
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab,
\]
получаем
\[
17^2=169+2ab.
\]

Следовательно,
\[
289=169+2ab,
\]
\[
2ab=120,
\]
\[
ab=60.
\]

Длины сторон являются корнями уравнения
\[
t^2-17t+60=0.
\]

Разложение на множители:
\[
(t-5)(t-12)=0.
\]

Таким образом, длины сторон равны \(5\) см и \(12\) см. Площадь равна
\[
A=ab=60\text{ см}^2.
\]

Размеры определены, поскольку их сумма и произведение фиксированы. Уравнение второго степеня имеет ровно два положительных корня \(5\) и \(12\), которые дают один и тот же прямоугольник при перестановке длины и ширины.

### Окончательный ответ

\[
\boxed{\text{Длины сторон: }5\text{ см и }12\text{ см}}
\]
\[
\boxed{\text{Площадь: }60\text{ см}^2}
\]

### Проверка

Периметр:
\[
2(5+12)=2(17)=34\text{ см}.
\]

Диагональ:
\[
\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ см}.
\]

Площадь:
\[
5\cdot 12=60\text{ см}^2.
\]

Шаги
- Пусть стороны равны a, b > 0. Периметр: 2(a+b) = 34, откуда a + b = 17.
- Диагональ (теорема Пифагора): a² + b² = 169.
- 2ab = (a + b)² �?? (a² + b²) = 289 �?? 169 = 120 �?? ab = 60.
- a, b — корни уравнения t² ≡ 17t + 60 = 0 = (t ≡ 5)(t ≡ 12).

Окончательный ответ
Стороны 5 см и 12 см; площадь 60 см².

Проверка
2(5+12) = 34, 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², площадь = 60.
Почему определено: два условия фиксируют сумму и произведение длин сторон, а мономическое квадратичное уравнение однозначно определяется суммой и произведением его корней. Дискриминант 289 �?? 240 = 49 > 0 даёт два положительных корня, которые представляют собой один и тот же прямоугольник с точностью до переобозначения a и b �??, поэтому размеры являются однозначно определёнными в виде неупорядоченной пары.

Шаги:
1. Пусть длины сторон равны $a > 0$ и $b > 0$.
2. Уравнение периметра имеет вид $²(a + b) = 34, откуда следует, что a + b = 17$.
3. По теореме Пифагора для диагонали получается $a^2 + b^2 = 13^2 = 169$.
4. Используем формулу $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$:
   $$17^2 = 169 + 2ab \implies 289 = 169 + 2ab \implies 2ab = 120 \implies ab = 60$$
5. Площадь равна $A = ab = 60\text{ см}^2$.
6. Длины сторон $a$ и $b$ являются положительными корнями уравнения $t^2 - 17t + 60 = 0$:
   $$(t - 5)(t - 12) = 0 \implies t = 5 \text{ или } t = 12$$
7. **Почему определяются размеры:** Периметр и диагональ однозначно определяют как сумму $(a + b = 17)$, так и произведение $(ab = 60)$ положительных длин сторон. Система, определяющая сумму и произведение двух чисел, однозначно определяет множество корней квадратичного многочлена, давая единственную пару длин сторон с точностью до порядка.

Окончательный ответ:
Длины сторон: $5\text{ см}$ и $12\text{ см}$; Площадь: $60\text{ см}^2$. Размеры определены, поскольку периметр и диагональ однозначно задают сумму и произведение длин смежных сторон, что приводит к единственному положительному решению квадратного уравнения.

Проверка:
Периметр: $2(5 + 12) = 34\text{ см}$. Диагональ: $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ см}$. Площадь: $5 \times 12 = 60\text{ см}^2$.

### Шаги

Пусть первоначальная себестоимость равна \(C\).

Наценка в размере \(25\%\) умножает себестоимость на
\[
1+0,25=1,25.
\]

Таким образом, цена с наценкой равна
\[
1,25C.
\]

Скидка в размере \(20\%\) означает, что покупатель платит \(80\%\) от цены с наценкой:
\[
0,80(1,25C)=120.
\]

Поскольку
\[
0,80 \cdot 1,25 = 1,
\]
уравнение принимает вид
\[
C = 120.
\]

Уплаченная цена равна первоначальной стоимости, поэтому чистое процентное изменение составляет
\[
\frac{120-120}{120}\cdot 100\%=0\%.
\]

### Окончательный ответ

\[
\boxed{\text{Первоначальная стоимость}=\$120}
\]
\[
\boxed{\text{Чистое процентное изменение}=0\%}
\]

### Проверка

Наценка \(25\%\) на \(\$120\) даёт
\[
120(1,25)=\$150.
\]

Скидка \(20\%\) от \(\$150\) даёт
\[
150(0,80)=\$120.
\]

Таким образом, уплаченная цена точно равна первоначальной стоимости.

Шаги
- Пусть себестоимость = C. Цена с наценкой = 1,25C.
- Цена продажи = 0,80 × 1,25C = 1,00C.
- Уплаченная цена = 120 × C = 120.
- Чистое изменение = (120 – 120)/120 = 0.

Окончательный ответ
Первоначальная себестоимость = $120; чистое изменение от себестоимости до уплаченной цены = 0% (изменения нет).

Проверка
120 с наценкой 25% — 150 с скидкой 20% — 150 — 30 = 120. Обратите внимание на множители: 1,25 × 0,80 = ровно 1, поэтому наценка и скидка компенсируют друг друга независимо от себестоимости. (Результат приведён до уплаты налога, как указано.)

Шаги:
1. Пусть $C > 0$ — исходная стоимость в долларах.
2. Наценка 25%: цена с наценкой $M = C \times (1 + 0,25) = 1,25C$.
3. Скидка 20% на цену с наценкой: уплаченная цена $P = M \times (1 - 0,20) = 1,25C \times 0,80 = 1,00C$.
4. Положим $P = \$120$:
   $$1,00C = 120 \implies C = \$120$$
5. Чистое процентное изменение от себестоимости до уплаченной цены:
   $$\text{Чистое изменение \%} = \frac{P - C}{C} \times 100\% = \frac{120 - 120}{120} \times 100\% = 0\%$$

Окончательный ответ:
Первоначальная себестоимость: $\$120$; Чистое процентное изменение: $0\%$.

Проверка:
Наценка: $\$120 \times 1,25 = \$150$. Скидка: $\$150 \times 0,80 = \$120$. Уплаченная цена равна $\$120$, а себестоимость равна уплаченной цене ($0\%$ — изменение нетто).

### Шаги

Решите уравнение
\[
\sqrt{x+6}=x
\]
над множеством действительных чисел.

Поскольку квадратный корень неотрицателен, правая часть уравнения должна удовлетворять условию
\[
x\ge 0.
\]
Кроме того, радиканд требует, чтобы \(x+6\ge 0\), что автоматически выполняется при \(x\ge 0\).

Возведем обе части в квадрат:
\[
x+6=x^2.
\]

Перегруппируем:
\[
x^2-x-6=0.
\]

Развиваем в множители:
\[
(x-3)(x+2)=0.
\]

Возможные решения:
\[
x=3\quad\text{или}\quad x=-2.
\]

Оба варианта необходимо проверить в исходном уравнении, поскольку при возведении в квадрат могут появиться посторонние решения.

Для \(x=3\):
\[
\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3,
\]
следовательно, \(x=3\) является правильным решением.

Для \(x=-2\):
\[
\sqrt{-2+6}=\sqrt{4}=2\ne -2,
\]
поэтому \(x=-2\) не является правильным решением. Оно не подходит, поскольку главный корень всегда неотрицателен, а предложенная правая часть уравнения отрицательна.

### Окончательный ответ

\[
\boxed{x=3}
\]

### Проверка

Подстановка в исходное уравнение даёт
\[
\sqrt{3+6}=3,
\]
\[
3=3.
\]

Отклоненное значение \(x=-2\) даёт \(2=-2\), что неверно.

Шаги
- Область определения/условия: требуется, чтобы x + 6 ≥ 0 (x ≥ 6), и, поскольку главный корень неотрицателен, x ≥ 0.
- Возводим обе части в квадрат: x + 6 = x² �?? x² �?? x �?? 6 = 0 �?? (x �?? 3)(x + 2) = 0 �?? x = 3 или x = �??2.
- Проверка в исходном уравнении: x = 3 �?? �??9 = 3 �??. x = �??2 �?? �??4 = 2 �?� �??2 �??.

Окончательный ответ
x = 3.

Проверка
(3 + 6) = 9 = 3 = x.
Почему x = √2 не подходит: возведение в квадрат не является обратимым оно превращает уравнение �??(x+6) = x в уравнение, которое также удовлетворяется уравнением �??(x+6) = �??x. x = �??2 удовлетворяет этой второй ветви, но нарушает условие x �?� 0, поскольку главный корень не может быть отрицательным. Это посторонний корень, введенный при возведении в квадрат.

Шаги:
1. Уравнение: $\sqrt{x + 6} = x$.
2. Ограничения области определения/условия:
   - Радиканд неотрицателен: $x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$.
   - Основной корень неотрицателен: $\sqrt{x + 6} \ge 0 \implies x \ge 0$.
   - Совместное ограничение области определения: $x \ge 0$.
3. Возьмем обе части уравнения в квадрат:
   $$x + 6 = x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0$$
4. Развиваем в множители:
   $$(x - 3)(x + 2) = 0 \implies \text{Возможные значения: } x = 3, x = -2$$
5. Проверим варианты в исходном уравнении $\sqrt{x + 6} = x$:
   - Для $x = 3$: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$. Верно (левая часть уравнения равна правой).
   - Для $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2$. Отклонено.
6. **Причина отклонения:** Основная функция квадратного корня из действительных чисел $\sqrt{\cdot}$ всегда даёт неотрицательное действительное значение ($\sqrt{4} = +2$). Поскольку правая часть равна $-2$, уравнение $2 = -2$ неверно. $x = -2$ — постороннее решение, появившееся в результате возведения в квадрат.

Окончательный ответ:
$x = 3$.

Проверка:
Левая часть при $x = 3$: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3 = \text{правая часть}$.
Левая часть при $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2 = \text{правая часть} $.

### Шаги

Найти значение
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx.
\]

Используем \(u\)-подстановку:
\[
u=x^2.
\]

Тогда
\[
du=2x\,dx.
\]

Следовательно,
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx=\int e^u\,du.
\]

Интегрируя:
\[
\int e^u\,du=e^u+C.
\]

Подставим \(u=x^2\):
\[
e^{x^2}+C.
\]

Эта первообразная функция верна для всех действительных \(x\).

### Окончательный ответ

\[
\boxed{\int 2x e^{x^2}\,dx=e^{x^2}+C}
\]

### Проверка

Проведите производную полученного результата, используя правило цепочки:
\[
\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}+C\right)
=e^{x^2}\cdot 2x
=2x e^{x^2}.
\]

Это совпадает с исходным подынтегральным выражением.

Шаги
- Подстановка: u = x², du = 2x dx.
- �?� 2x e^(x²) dx = �?� e^u du = e^u + C = e^(x²) + C.

Окончательный ответ
e^(x²) + C.

Проверка
d/dx [e^(x²) + C] = e^(x²) · d/dx(x²) = 2x e^(x²) (правило цепочки). Верно для всех действительных x; подынтегральное выражение непрерывно на �?�.

Шаги:
1. Вычислить $\int 2x e^{x^2} \, dx$ на области $x \in (-\infty, \infty)$.
2. Название подстановки: $u$-подстановка с $u = x^2$.
3. Вычислите производную: $du = 2x \, dx$.
4. Подставьте в интеграл:
   $$\int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C$$
5. Подставьте обратно $u = x^2$:
   $$e^{x^2} + C$$

Окончательный ответ:
$e^{x^2} + C$  (Подстановка: $u = x^2$)

Проверка:
Произведите производную результата по $x$, используя правило цепочки:
$$\frac{d}{dx}\left(e^{x^2} + C\right) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + 0 = 2x e^{x^2}$$
Таким образом, мы получаем исходное подтегратное выражение.