最佳人工智能数学求解器 (2026)：精确结果的测试工具

### 步骤

已知
\[
x+y=11,\qquad xy=24.
\]

利用
\[
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.
\]

因此
\[
x^2+y^2=11^2-2(24)=121-48=73.
\]

要确定 \(x\) 和 \(y\) 的值，它们必须是下列方程的根：
\[
t^2-(x+y)t+xy=0,
\]
因此
\[
t^2-11t+24=0.
\]

因式分解：
\[
(t-3)(t-8)=0.
\]

因此，这两个值是 \(3\) 和 \(8\)。

### 最终答案

\[
\boxed{x^2+y^2=73},\qquad \boxed{\{x,y\}=\{3,8\}}.
\]

### 验证

\[
3+8=11,\qquad 3\cdot 8=24,
\]
且
\[
3^2+8^2=9+64=73.
\]

步骤
- (x+y)² = x² + 2xy + y²，因此 x² + y² = 11² �?? 2(24) = 121 �?? 48 = 73。
- x 和 y 是方程 t² - 11t + 24 = 0 的根，即 (t - 3)(t - 8)。

最终答案
x² + y² = 73；{x, y} = {3, 8}。

验证
3 + 8 = 11，3·8 = 24，9 + 64 = 73。判别式 121 - 96 = 25 > 0，因此两个根均为实数。.

步骤：
1. 利用代数恒等式 $x² + y² = (x + y)² - 2xy$。
2. 代入已知值 $x + y = 11$ 和 $xy = 24$：
   $$x^2 + y^2 = 11^2 - 2(24) = 121 - 48 = 73$$
3. 为了求出 $x$ 和 $y$，构造一个根为 $x$ 和 $y$ 的二次方程：
   $$t^2 - (x+y)t + xy = 0 \implies t^2 - 11t + 24 = 0$$
4. 将该二次方程因式分解：
   $$(t - 3)(t - 8) = 0 \implies t = 3 \text{ 或 } t = 8$$

最终答案：
$x^2 + y^2 = 73$；无序对 $\{x, y\} = \{3, 8\}$。

验证：
$3 + 8 = 11$，$3 × 8 = 24$，且 $3² + 8² = 9 + 64 = 73$。.

### 步骤

设正边长分别为 \(a\) 和 \(b\)。

周长为 \(34\) 厘米：
\[
2(a+b)=34,
\]
因此
\[
a+b=17.
\]

对角线长为 \(13\) 厘米，根据勾股定理，
\[
a^2+b^2=13^2=169.
\]

利用
\[
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab,
\]
可得
\[
17^2=169+2ab.
\]

因此，
\[
289=169+2ab,
\]
\[
2ab=120,
\]
\[
ab=60.
\]

两边长度是方程
\[
t^2-17t+60=0.
\]

因式分解：
\[
(t-5)(t-12)=0.
\]

因此，两边长度分别为 \(5\) 厘米和 \(12\) 厘米。面积为
\[
A=ab=60\text{ 厘米}^2.
\]

由于其和与积是固定的，因此边长已确定。该二次方程恰有两个正根 \(5\) 和 \(12\)，它们所构成的矩形在长宽互换后是相同的。

### 最终答案

\[
\boxed{\text{边长：}5\text{ 厘米和 }12\text{ 厘米}}
\]
\[
\boxed{\text{面积：}60\text{ 厘米}^2}
\]

### 验证

周长：
\[
2(5+12)=2(17)=34\text{ 厘米}.
\]

对角线：
\[
\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ cm}.
\]

面积：
\[
5\cdot 12=60\text{ cm}^2.
\]

步骤
- 设两边分别为 a、b，且 a, b > 0。周长：2(a+b) = 34 �?? a + b = 17。
- 对角线（毕达哥拉斯定理）：a² + b² = 169。
- 2ab = (a+b)² �?? (a²+b²) = 289 �?? 169 = 120 �?? ab = 60.
- a、b 是方程 t² ≡ 17t + 60 = 0 的根，即 (t ≡ 5)(t ≡ 12)。

最终答案
两边长分别为 5 cm 和 12 cm；面积为 60 cm²。

验证
2(5+12) = 34，5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²，面积 = 60。
确定原因：两个条件确定了边长的和与积，而一元二次式由其根的和与积唯一确定。 判别式 289 － 240 = 49 > 0 表明有两个正根，这两个根在重新标记 a 和 b 后仍为同一矩形，因此其尺寸作为无序对是唯一的。.

步骤：
1. 设两边长分别为 $a > 0$ 和 $b > 0$。
2. 周长公式为 $²(a + b) = 34，由此可得 a + b = 17$。
3. 根据勾股定理，对角线的平方和为 $a² + b² = 13² = 169$。
4. 利用公式 $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$：
   $$17^2 = 169 + 2ab \implies 289 = 169 + 2ab \implies 2ab = 120 \implies ab = 60$$
5. 面积为 $A = ab = 60\text{ cm}^2$。
6. 边长 $a$ 和 $b$ 是方程 $t^2 - 17t + 60 = 0$ 的正实数根：
   $$(t - 5)(t - 12) = 0 \implies t = 5 \text{ 或 } t = 12$$
7. **为何能确定尺寸：** 周长和对角线唯一地确定了正边长之和 $(a+b = 17)$ 以及正边长之积 $(ab = 60)$。 一个指定两个数之和与之积的系统，能唯一地确定一个二次多项式的根集，从而给出一对唯一（不考虑顺序）的边长。

最终答案：
边长：$5\text{ cm}$ 和 $12\text{ cm}$；面积：$60\text{ cm}^2$。 这些尺寸是确定的，因为周长和对角线唯一地确定了相邻边长的和与积，从而得到唯一的一组正二次方程解。

验证：
周长：$2(5 + 12) = 34\text{ cm}$。 对角线：$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$。 面积：$5 × 12 = 60\text{ cm}^2$。.

### 步骤

设原价为 \(C\)。

\(25\%\) 的加价率意味着原价乘以
\[
1+0.25=1.25.
\]

因此，标价为
\[
1.25C.
\]

\(20\%\)的折扣意味着顾客只需支付标价的 \(80\%\)：
\[
0.80(1.25C)=120.
\]

由于
\[
0.80\cdot 1.25=1,
\]
因此该方程变为
\[
C=120.
\]

实际支付的价格等于原价，因此净百分比变化为
\[
\frac{120-120}{120}\cdot 100\%=0\%.
\]

### 最终答案

\[
\boxed{\text{原价}=\$120}
\]
\[
\boxed{\text{净百分比变化}=0\%}
\]

### 验证

对 \(\$120\) 加价 \(25\%\) 后，得
\[
120(1.25)=\$150.
\]

对 \(\$150\) 进行 \(20\%\) 的折扣后，得
\[
150(0.80)=\$120.
\]

因此，实际支付的价格恰好等于原价。.

步骤
- 设成本为 C。标价为 1.25C。
- 售价 = 0.80 × 1.25C = 1.00C。
- 实际支付价格 = 120 × C = 120。
- 净变动 = (120 - 120)/120 = 0.

最终答案
原始成本 = $120；从成本到实际支付价格的净变动 = 0%（无变动）。

验证
120 加价 25% → 150 → 减去 20% → 150 → 30 = 120。 注意这些倍数：1.25 × 0.80 = 1，正好相等，因此无论成本是多少，加价和折扣都会相互抵消。（如题所述，结果为税前金额。）

步骤：
1. 设 $C > 0$ 为原始成本（单位：美元）。
2. 25%的加价：标价 $M = C × (1 + 0.25) = 1.25C$。
3. 20%对标价的折扣：实际支付价格 $P = M × (1 - 0.20) = 1.25C × 0.80 = 1.00C$。
4. 设 $P = \$120$：
   $$1.00C = 120 \implies C = \$120$$
5. 从成本到支付价格的净百分比变化：
   $$\text{净变化 \%} = \frac{P - C}{C} \times 100\% = \frac{120 - 120}{120} \times 100\% = 0\%$$

最终答案：
原价：$\$120$； 净百分比变化：$0\%$。

验证：
加价额：$\$120 \times 1.25 = \$150$。 折扣：$\$150 × 0.80 = \$120$。 实际支付价格为 $\$120$，成本等于实际支付价格（$0\%$ 净变动）。.

### 步骤

求解
\[
\sqrt{x+6}=x
\]
（在实数域上）。

由于平方根是非负的，因此右边必须满足
\[
x\ge 0.
\]
此外，被开式要求 \(x+6\ge 0\)，当 \(x\ge 0\) 时，该条件自动成立。

两边平方：
\[
x+6=x^2.
\]

整理得：
\[
x^2-x-6=0.
\]

因式分解：
\[
(x-3)(x+2)=0.
\]

解的候选值是
\[
x=3\quad\text{或}\quad x=-2.
\]

由于平方运算可能引入多余解，因此必须将这两个解代入原方程进行验证。

当 \(x=3\) 时：
\[
\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3,
\]
因此 \(x=3\) 是有效的。

对于 \(x=-2\)：
\[
\sqrt{-2+6}=\sqrt{4}=2\ne -2,
\]
因此 \(x=-2\) 无效。其无效的原因在于：主根始终是非负数，而所提出的右边结果为负数。

### 最终答案

\[
\boxed{x=3}
\]

### 验证

代入原方程得
\[
\sqrt{3+6}=3,
\]
\[
3=3.
\]

被排除的候选值 \(x=-2\) 会得到 \(2=-2\)，这是错误的。.

步骤
- 定义域/条件：需满足 x + 6 ≥ 0（x ≥ 6），且由于主平方根为非负数，故 x ≥ 0。
- 两边平方：x + 6 = x² × x² × x × 6 = 0 × (x × 3)(x + 2) = 0 × x = 3 或 x = √2。
- 代入原方程验证：x = 3 ≠ 9 = 3 ≠。x = √2 ≠ 4 = 2 ≠ √2 ≠。

最终答案
x = 3。

验证
(3 + 6) = 9 = 3 = x。
为什么 √2 不成立：平方运算不可逆， 这会将 √(x+6) = x 转化为一个方程，该方程也满足 √(x+6) = √x。x = √2 虽满足第二个分支，但违反了 x ≠ 0 的条件，因为主根不能为负数。 这是平方运算引入的冗余根。.

步骤：
1. 方程：$\sqrt{x + 6} = x$。
2. 定义域/条件限制：
   - 被开方数非负：$x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$。
   - 被开方数非负：$\sqrt{x + 6} \ge 0 \implies x \ge 0$。
   - 综合定义域限制：$x \ge 0$。
3. 两边平方：
   $$x + 6 = x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0$$
4. 因式分解：
   $$(x - 3)(x + 2) = 0 \implies \text{解的候选值：} x = 3, x = -2$$
5. 在原方程 $\sqrt{x + 6} = x$ 中验证候选值：
   - 当 $x = 3$ 时：$\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$。成立（左边 = 右边）。
   - 对于 $x = -2$：$\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2$。被排除。
6. **拒绝理由：** 主要实数平方根函数 $\sqrt{\cdot}$ 始终返回非负实数值（$\sqrt{4} = +2$）。 由于右边为 $-2$，因此方程 $² = -2$ 不成立。$x = -2$ 是平方运算引入的冗余解。

最终答案：
$x = 3$。

验证：
当 $x = 3$ 时，左边为：$\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3 = \text{右边}$。
左边在 $x = -2$ 时：$\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2 = \text{右边}$。.

### 步骤

求
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx.
\]

使用 \(u\) 换元：
\[
u=x^2.
\]

则
\[
du=2x\,dx.
\]

因此，
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx=\int e^u\,du.
\]

积分：
\[
\int e^u\,du=e^u+C.
\]

代入 \(u=x^2\)：
\[
e^{x^2}+C.
\]

该原函数对所有实数 \(x\) 均成立。

### 最终答案

\[
\boxed{\int 2x e^{x^2}\,dx=e^{x^2}+C}
\]

### 验证

利用链式法则对结果求导：
\[
\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}+C\right)
=e^{x^2}\cdot 2x
=2x e^{x^2}.
\]

这与原被积函数一致。.

步骤
- 变换：u = x²，du = 2x dx。
- �?� 2x e^(x²) dx = �?� e^u du = e^u + C = e^(x²) + C。

最终答案
e^(x²) + C。

验证
d/dx [e^(x²) + C] = e^(x²) · d/dx(x²) = 2x e^(x²) �??（链式法则）。对所有实数 x 均成立；被积函数在 �?� 上连续。.

步骤：
1. 在定义域 $x ∈ (−∞, ∞)$ 上求 $\int 2x e^{x^2} \, dx$ 的值。
2. 换元名称：$u$-换元，其中 $u = x^2$。
3. 计算微分：$du = 2x \, dx$。
4. 代入积分：
   $$\int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C$$
5. 代入 $u = x^2$：
   $$e^{x^2} + C$$

最终答案：
$ e^{x^2} + C$  （代入：$ u = x^2$）

验证：
利用链式法则，对结果关于$ x$求导：
$$\frac{d}{dx}\left(e^{x^2} + C\right) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + 0 = 2x e^{x^2}$$
这恢复了原被积函数。.