最高のAI数学ソルバー(2026)：正確な結果を得るためのテスト済みツール

### 手順

与えられた条件
\[
x+y=11,\qquad xy=24.
\]

次の式を用いる
\[
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.
\]

したがって
\[
x^2+y^2=11^2-2(24)=121-48=73.
\]

\(x\) と \(y\) を特定するには、これらが次の式の解でなければならない。
\[
t^2-(x+y)t+xy=0,
\]
したがって、
\[
t^2-11t+24=0.
\]

因数分解すると、
\[
(t-3)(t-8)=0.
\]

したがって、2つの値は \(3\) と \(8\) である。

### 最終解答

\[
\boxed{x^2+y^2=73},\qquad \boxed{\{x,y\}=\{3,8\}}.
\]

### 検証

\[
3+8=11,\qquad 3\cdot 8=24,
\]
そして
\[
3^2+8^2=9+64=73.
\]

手順
- (x+y)² = x² + 2xy + y² であるため、x² + y² = 11² ÷ 2(24) = 121 ÷ 48 = 73 となる。
- x と y は t² �?? 11t + 24 = 0 = (t �?? 3)(t �?? 8) の解である。

最終解答
x² + y² = 73; {x, y} = {3, 8}。

検証
3 + 8 = 11 �??、3・8 = 24 �??、9 + 64 = 73 �??。判別式 121 �?? 96 = 25 > 0 であるため、両方の根は実数である。.

手順：
1. 代数恒等式 $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$ を用いる。
2. 与えられた値 $x + y = 11$ および $xy = 24$ を代入する：
   $$x^2 + y^2 = 11^2 - 2(24) = 121 - 48 = 73$$
3. $x$ および $y$ を求めるには、その解が $x$ および $y$ となる二次方程式を立てる：
   $$t^2 - (x+y)t + xy = 0 \implies t^2 - 11t + 24 = 0$$
4. この二次方程式を因数分解する：
   $$(t - 3)(t - 8) = 0 \implies t = 3 \text{ または } t = 8$$

最終解答：
$x^2 + y^2 = 73$；無順序ペア $\{x, y\} = \{3, 8\}$。

検証：
$3 + 8 = 11$、$3 \times 8 = 24$、そして $3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73$ である。.

### 手順

正の辺の長さを \(a\) と \(b\) とする。

周長は \(34\) cm である：
\[
2(a+b)=34,
\]
したがって、
\[
a+b=17.
\]

対角線の長さは \(13\) cm であるため、ピタゴラスの定理より、
\[
a^2+b^2=13^2=169.
\]


\[
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab,
\]
を用いて、
\[
17^2=169+2ab.
\]

したがって、
\[
289=169+2ab,
\]
\[
2ab=120,
\]
\[
ab=60.
\]

辺の長さは、
\[
t^2-17t+60=0.
\]

因数分解すると、
\[
(t-5)(t-12)=0.
\]

したがって、辺の長さは \(5\) cm と \(12\) cm である。面積は
\[
A=ab=60\text{ cm}^2.
\]

辺の長さは、その和と積が固定されているため決定される。この二次方程式の正の解は \(5\) と \(12\) のちょうど2つであり、これらは長さと幅を入れ替えることを除けば、同じ長方形を与える。

### 最終解答

\[
\boxed{\text{辺の長さ：}5\text{ cm および }12\text{ cm}}
\]
\[
\boxed{\text{面積：}60\text{ cm}^2}
\]

### 検証

周囲長：
\[
2(5+12)=2(17)=34\text{ cm}.
\]

対角線：
\[
\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ cm}.
\]

面積：
\[
5\cdot 12=60\text{ cm}^2.
\]

手順
- 辺を a, b（a, b > 0）とする。周長：2(a+b) = 34 ⟹ a + b = 17。
- 対角線（ピタゴラスの定理）：a² + b² = 169。
- 2ab = (a+b)² �?? (a²+b²) = 289 �?? 169 = 120 �?? ab = 60.
- a, b は t² �?? 17t + 60 = 0 の解である。すなわち (t �?? 5)(t �?? 12)。

最終解答
辺の長さは 5 cm と 12 cm、面積は 60 cm²。

検証
2(5+12) = 34、5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²、面積 = 60。
決定される理由：2つの条件によって辺の長さの和と積が固定され、単項二次式はその根の和と積によって一意に決定される。 判別式 289 �?? 240 = 49 > 0 から、2つの正の根が得られ、これらは a と b のラベル付けを変更すれば同じ長方形となるため、次元は順序のないペアとして一意に決まる。.

手順：
1. 辺の長さを $a > 0$ および $b > 0$ と置く。
2. 周長の式は $²(a + b) = 34 となるため、a + b = 17$ となる。
3. ピタゴラスの定理より、対角線の長さは $a^2 + b^2 = 13^2 = 169$ となる。
4. $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ を用いると：
   $$17^2 = 169 + 2ab \implies 289 = 169 + 2ab \implies 2ab = 120 \implies ab = 60$$
5. 面積は $A = ab = 60\text{ cm}^2$ である。
6. 辺の長さ $a$ と $b$ は、$t^2 - 17t + 60 = 0$ の正の解である：
   $$(t - 5)(t - 12) = 0 \implies t = 5 \text{ または } t = 12$$
7. **次元が決定される理由：** 周囲長と対角線は、正の辺の長さの和 $(a+b = 17)$ と積 $(ab = 60)$ の両方を一意に決定する。 2つの数の和と積を指定する系は、二次多項式の根の集合を一意に決定し、順序を除いて一意な辺の長さの組を与える。

最終解答：
辺の長さ：$5\text{ cm}$ および $12\text{ cm}$；面積：$60\text{ cm}^2$。 周長と対角線によって隣接する辺の長さの和と積が一意に決定されるため、正の二次方程式の解の集合が一意に定まり、これにより寸法が決定される。

検証：
周長：$2(5 + 12) = 34\text{ cm}$。 対角線：$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$。 面積：$5 \times 12 = 60\text{ cm}^2$。.

### 手順

原価を \(C\) とする。

\(25\%\) のマークアップは、原価に
\[
1+0.25=1.25.
\]

したがって、表示価格は
\[
1.25C.
\]

\(20\%\)の割引とは、顧客が表示価格の \(80\%\) を支払うことを意味する：
\[
0.80(1.25C)=120.
\]

\[
0.80\cdot 1.25=1,
\]
であるため、この式は
\[
C=120.
\]

支払価格は元の原価に等しいため、正味の変化率は
\[
\frac{120-120}{120}\cdot 100\%=0\%.
\]

### 最終解答

\[
\boxed{\text{元の原価}=\$120}
\]
\[
\boxed{\text{正味変化率}=0\%}
\]

### 検証

\(\$120\) に \(25\%\) のマークアップを適用すると、
\[
120(1.25)=\$150.
\]

\(\$150\) に \(20\%\) の割引を適用すると、
\[
150(0.80)=\$120.
\]

したがって、支払った価格は元の原価と正確に等しくなる。.

手順
- 原価を C とします。表示価格 = 1.25C。
- 販売価格 = 0.80 × 1.25C = 1.00C。
- 支払価格 = 120 × C = 120。
- 純変動額 = (120 �?? 120)/120 = 0。

最終解答
当初の原価 = $120；原価から支払価格への純変動額 = 0%（変動なし）。

検証
120 �?? に 25% �?? の上乗せ ＋ 150 �?? 20% �?? の割引 ＋ 150 �?? 30 = 120 �??。 乗数に注目してください：1.25 × 0.80 = 1 となるため、原価にかかわらず、マークアップと割引は相殺されます。（記載の通り、結果は税抜きです。）

手順：
1. $C > 0$ をドル建ての当初原価とする。
2. 25%のマークアップ：表示価格 $M = C × (1 + 0.25) = 1.25C$。
3. 表示価格に対する20%の割引：支払価格 $P = M × (1 - 0.20) = 1.25C × 0.80 = 1.00C$。
4. $P = \$120$ と設定する：
   $$1.00C = 120 \implies C = \$120$$
5. 原価から支払価格への純変化率：
   $$\text{純変化率} = \frac{P - C}{C} \times 100\% = \frac{120 - 120}{120} \times 100\% = 0\%$$

最終解答：
原価：$\$120$； 純変化率：$0\%$。

検証：
マークアップ：$\$120 \times 1.25 = \$150$。 割引額：$\$150 × 0.80 = \$120$。 支払価格は $\$120$ となり、原価は支払価格と等しくなります（$0\%$ の純変動額）。.

### 手順

実数上で
\[
\sqrt{x+6}=x
\]
を解く。

平方根は非負であるため、右辺は
\[
x\ge 0.
\]
また、被開方式は \(x+6\ge 0\) を必要とするが、これは \(x\ge 0\) のとき自動的に満たされる。

両辺を二乗する：
\[
x+6=x^2.
\]

整理すると：
\[
x^2-x-6=0.
\]

因数分解すると：
\[
(x-3)(x+2)=0.
\]

解の候補は
\[
x=3\quad\text{または}\quad x=-2.
\]

二乗操作によって余分な解が生じる可能性があるため、元の式で両方の候補を検証する必要がある。

\(x=3\) の場合：
\[
\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3,
\]
したがって、\(x=3\) は有効である。

\(x=-2\) の場合：
\[
\sqrt{-2+6}=\sqrt{4}=2\ne -2,
\]
したがって、\(x=-2\) は無効である。主平方根は常に非負であるのに対し、提案された右辺は負であるため、この解は成立しない。

### 最終解答

\[
\boxed{x=3}
\]

### 検証

元の方程式に代入すると、
\[
\sqrt{3+6}=3,
\]
\[
3=3.
\]

却下された候補 \(x=-2\) を代入すると \(2=-2\) となり、これは誤りである。.

手順
- 定義域／条件：x + 6 ≠ 0（x ≠ -6）が必要であり、また、主平方根は非負であるため、x ≠ 0 である。
- 両辺を二乗する：x + 6 = x² �?? x² �?? x �?? 6 = 0 �?? (x �?? 3)(x + 2) = 0 �?? x = 3 または x = �??2。
- 元の式で検証する：x = 3 ≠ 9 = 3 ≠。x = √2 ≠ 4 = 2 ≠ √2 ≠。

最終的な答え
x = 3。

検証
(3 + 6) = 9 = 3 = x。
なぜ x = √2 が成立しないのか：二乗は可逆ではないため、 これにより、(x+6) = x が (x+6) = ??x でも満たされる方程式になってしまう。x = ??2 はこの2つ目の枝を満たすが、主根が負になることはできないため、条件 x ≠ 0 に反する。 これは、二乗によって導入された余分な根である。.

手順：
1. 式：$\sqrt{x + 6} = x$。
2. 定義域／条件の制限：
   - 被開方数が非負：$x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$。
   - 被開方式の値が非負：$\sqrt{x + 6} \ge 0 \implies x \ge 0$。
   - 組み合わせた定義域の制約：$x \ge 0$。
3. 両辺を二乗する：
   $$x + 6 = x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0$$
4. 因数分解：
   $$(x - 3)(x + 2) = 0 \implies \text{解の候補：} x = 3, x = -2$$
5. 元の方程式 $\sqrt{x + 6} = x$ を用いて候補値を検証する：
   - $x = 3$ の場合：$\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$。成立（左辺 = 右辺）。
   - $x = -2$ の場合：$\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2$。却下。
6. **却下の理由：** 主実平方根関数 $\sqrt{\cdot}$ は常に非負の実数を返す（$\sqrt{4} = +2$）。 右辺は $-2$ であるため、方程式 $² = -2$ は成り立たない。$x = -2$ は、二乗によって導入された余剰解である。

最終的な答え：
$x = 3$。

検証：
$x = 3$ における左辺：$\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3 = \text{右辺}$。
$x = -2$ における左辺：$\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2 = \text{右辺}$。.

### 手順

次の積分を求めなさい。
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx.
\]

\(u\) 置換を用いる：
\[
u=x^2.
\]

すると、
\[
du=2x\,dx.
\]

したがって、
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx=\int e^u\,du.
\]

積分すると：
\[
\int e^u\,du=e^u+C.
\]

\(u=x^2\) を代入すると：
\[
e^{x^2}+C.
\]

この原関数は、すべての実数 \(x\) に対して成立する。

### 最終解答

\[
\boxed{\int 2x e^{x^2}\,dx=e^{x^2}+C}
\]

### 検証

連鎖法則を用いて結果を微分する：
\[
\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}+C\right)
=e^{x^2}\cdot 2x
=2x e^{x^2}.
\]

これは元の被積分関数と一致する。.

手順
- 置換：u = x²、du = 2x dx。
- �?� 2x e^(x²) dx = �?� e^u du = e^u + C = e^(x²) + C。

最終解答
e^(x²) + C。

検証
d/dx [e^(x²) + C] = e^(x²) · d/dx(x²) = 2x e^(x²) �?? （連鎖法則）。すべての実数 x について成立する；被積分関数は �?� 上で連続である。.

手順：
1. 領域 $x ∈ (-\infty, \infty)$ において、$\int 2x e^{x^2} \, dx$ を評価せよ。
2. 置換の式：$u$ による置換（$u = x^2$）。
3. 微分を計算する：$du = 2x \, dx$。
4. 積分式に代入する：
   $$\int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C$$
5. $u = x^2$ を代入して元に戻す：
   $$e^{x^2} + C$$

最終解答：
$ e^{x^2} + C$  （置換：$ u = x^2$）

検証：
連鎖法則を用いて、$ x$ について結果を微分する：
$$\frac{d}{dx}\left(e^{x^2} + C\right) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + 0 = 2x e^{x^2}$$
これにより、元の被積分関数が得られます。.