Pemecah Matematika AI Terbaik (2026): Alat yang Teruji untuk Hasil yang Akurat

### Langkah-langkah

Diketahui
\[
x+y=11,\qquad xy=24.
\]

Gunakan
\[
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.
\]

Dengan demikian
\[
x^2+y^2=11^2-2(24)=121-48=73.
\]

Untuk menentukan nilai \(x\) dan \(y\), keduanya harus merupakan akar dari
\[
t^2-(x+y)t+xy=0,
\]
sehingga
\[
t^2-11t+24=0.
\]

Faktorisasi:
\[
(t-3)(t-8)=0.
\]

Oleh karena itu, kedua nilainya adalah \(3\) dan \(8\).

### Jawaban akhir

\[
\boxed{x^2+y^2=73},\qquad \boxed{\{x,y\}=\{3,8\}}.
\]

### Verifikasi

\[
3+8=11,\qquad 3\cdot 8=24,
\]
dan
\[
3^2+8^2=9+64=73.
\]

Langkah-langkah
- (x+y)² = x² + 2xy + y², sehingga x² + y² = 11² �?? 2(24) = 121 �?? 48 = 73.
- x dan y adalah akar-akar dari t² �?? 11t + 24 = 0 = (t �?? 3)(t �?? 8).

Jawaban akhir
x² + y² = 73; {x, y} = {3, 8}.

Verifikasi
3 + 8 = 11 �??, 3·8 = 24 �??, 9 + 64 = 73 �??. Diskriminan 121 �?? 96 = 25 > 0, sehingga kedua akar tersebut adalah bilangan real.

Langkah-langkah:
1. Gunakan identitas aljabar $x² + y² = (x + y)² - 2xy$.
2. Substitusikan nilai-nilai yang diberikan $x + y = 11$ dan $xy = 24$:
   $$x^2 + y^2 = 11^2 - 2(24) = 121 - 48 = 73$$
3. Untuk mencari $x$ dan $y$, buatlah persamaan kuadrat yang akarnya adalah $x$ dan $y$:
   $$t^2 - (x+y)t + xy = 0 \implies t^2 - 11t + 24 = 0$$
4. Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
   $$(t - 3)(t - 8) = 0 \implies t = 3 \text{ atau } t = 8$$

Jawaban akhir:
$x^2 + y^2 = 73$; Pasangan tak terurut $\{x, y\} = \{3, 8\}$.

Verifikasi:
$3 + 8 = 11$, $3 \times 8 = 24$, dan $3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73$.

### Langkah-langkah

Misalkan panjang sisi positifnya adalah \(a\) dan \(b\).

Kelilingnya adalah \(34\) cm:
\[
2(a+b)=34,
\]
sehingga
\[
a+b=17.
\]

Diagonal berukuran \(13\) cm, sehingga berdasarkan teorema Pythagoras,
\[
a^2+b^2=13^2=169.
\]

Dengan menggunakan
\[
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab,
\]
kita memperoleh
\[
17^2=169+2ab.
\]

Oleh karena itu,
\[
289=169+2ab,
\]
\[
2ab=120,
\]
\[
ab=60.
\]

Panjang sisi-sisinya merupakan akar dari
\[
t^2-17t+60=0.
\]

Faktorisasi:
\[
(t-5)(t-12)=0.
\]

Dengan demikian, panjang sisi-sisinya adalah \(5\) cm dan \(12\) cm. Luasnya adalah
\[
A=ab=60\text{ cm}^2.
\]

Dimensi-dimensi tersebut telah ditentukan karena jumlah dan hasil kali keduanya tetap. Persamaan kuadrat tersebut memiliki tepat dua akar positif, yaitu \(5\) dan \(12\), yang menghasilkan persegi panjang yang sama dengan hanya menukar panjang dan lebarnya.

### Jawaban akhir

\[
\boxed{\text{Panjang sisi: }5\text{ cm dan }12\text{ cm}}
\]
\[
\boxed{\text{Luas: }60\text{ cm}^2}
\]

### Verifikasi

Keliling:
\[
2(5+12)=2(17)=34\text{ cm}.
\]

Diagonal:
\[
\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ cm}.
\]

Luas:
\[
5\cdot 12=60\text{ cm}^2.
\]

Langkah-langkah
- Misalkan panjang sisi-sisinya adalah a dan b, dengan a, b > 0. Keliling: 2(a+b) = 34 �?? a + b = 17.
- Diagonal (Teorema Pythagoras): a² + b² = 169.
- 2ab = (a + b)² �?? (a² + b²) = 289 �?? 169 = 120 �?? ab = 60.
- a, b adalah akar-akar dari t² �?? 17t + 60 = 0 = (t �?? 5)(t �?? 12).

Jawaban akhir
Sisi-sisinya 5 cm dan 12 cm; luasnya 60 cm².

Verifikasi
2(5+12) = 34, 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², luas = 60.
Alasan penentuan: kedua syarat tersebut menentukan jumlah dan hasil kali panjang sisi, dan persamaan kuadrat monik ditentukan secara unik oleh jumlah dan hasil kali akarnya. Diskriminan 289 �?? 240 = 49 > 0 menghasilkan dua akar positif, yang merupakan persegi panjang yang sama hingga penomoran ulang a dan b �?? sehingga dimensinya unik sebagai pasangan tak terurut.

Langkah-langkah:
1. Misalkan panjang sisi-sisinya adalah $a > 0$ dan $b > 0$.
2. Persamaan kelilingnya adalah $²(a + b) = 34 \implies a + b = 17$.
3. Berdasarkan teorema Pythagoras, diagonal memberikan $a² + b² = 13² = 169$.
4. Gunakan $(a + b)² = a² + b² + 2ab$:
   $$17^2 = 169 + 2ab \implies 289 = 169 + 2ab \implies 2ab = 120 \implies ab = 60$$
5. Luasnya adalah $A = ab = 60\text{ cm}^2$.
6. Panjang sisi $a$ dan $b$ adalah akar positif dari persamaan $t^2 - 17t + 60 = 0$:
   $$(t - 5)(t - 12) = 0 \implies t = 5 \text{ atau } t = 12$$
7. **Mengapa dimensi dapat ditentukan:** Keliling dan diagonal secara unik menentukan baik jumlah $(a+b = 17)$ maupun hasil kali $(ab = 60)$ dari panjang sisi-sisi positif. Sistem yang menentukan jumlah dan hasil kali dua bilangan secara unik mendefinisikan himpunan akar-akar dari suatu polinomial kuadrat, sehingga menghasilkan sepasang panjang sisi yang unik hingga urutan.

Jawaban akhir:
Panjang sisi: $5\text{ cm}$ dan $12\text{ cm}$; Luas: $60\text{ cm}^2$. Dimensi-dimensi tersebut ditentukan karena keliling dan diagonal secara unik menentukan jumlah dan hasil kali panjang sisi-sisi yang berdekatan, sehingga menghasilkan himpunan akar kuadrat positif yang unik.

Verifikasi:
Keliling: $2(5 + 12) = 34\text{ cm}$. Diagonal: $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$. Luas: $5 \times 12 = 60\text{ cm}^2$.

### Langkah-langkah

Misalkan harga pokoknya adalah \(C\).

Markup sebesar \(25\%\) berarti harga pokok dikalikan dengan
\[
1+0,25=1,25.
\]

Oleh karena itu, harga jualnya adalah
\[
1,25C.
\]

Diskon sebesar \(20\%\) berarti pelanggan membayar \(80\%\) dari harga jual:
\[
0,80(1,25C)=120.
\]

Karena
\[
0,80\cdot 1,25=1,
\]
maka persamaannya menjadi
\[
C=120.
\]

Harga yang dibayarkan sama dengan harga pokok, sehingga persentase perubahan bersihnya adalah
\[
\frac{120-120}{120}\cdot 100\%=0\%.
\]

### Jawaban akhir

\[
\boxed{\text{Biaya awal}=\$120}
\]
\[
\boxed{\text{Persentase perubahan bersih}=0\%}
\]

### Verifikasi

Markup sebesar \(25\%\) pada \(\$120\) menghasilkan
\[
120(1,25)=\$150.
\]

Diskon sebesar \(20\%\) dari \(\$150\) menghasilkan
\[
150(0,80)=\$120.
\]

Dengan demikian, harga yang dibayarkan sama persis dengan harga pokok.

Langkah-langkah
- Misalkan biaya = C. Harga yang tertera = 1,25C.
- Harga jual = 0,80 × 1,25C = 1,00C.
- Harga yang dibayarkan = 120 × C = 120.
- Perubahan bersih = (120 – 120)/120 = 0.

Jawaban akhir
Biaya awal = $120; perubahan bersih dari biaya ke harga yang dibayarkan = 0% (tidak ada perubahan).

Verifikasi
120 �?? ditambah markup 25% �?? dikurangi diskon 150 �?? 20% �?? 150 �?? 30 = 120 �??. Perhatikan faktor pengali: 1,25 �? 0,80 = 1 tepat, sehingga kenaikan harga dan diskon saling meniadakan terlepas dari harga pokok. (Hasil ini sebelum pajak, sebagaimana dinyatakan.)

Langkah-langkah:
1. Misalkan $C > 0$ adalah harga pokok dalam dolar.
2. Markup sebesar 25%: Harga yang ditandai $M = C \times (1 + 0,25) = 1,25C$.
3. Diskon sebesar 20% atas harga yang ditandai: Harga yang dibayarkan $P = M × (1 - 0,20) = 1,25C × 0,80 = 1,00C$.
4. Tetapkan $P = \$120$:
   $$1,00C = 120 \implies C = \$120$$
5. Persentase perubahan bersih dari harga pokok ke harga jual:
   $$\text{Perubahan Bersih \%} = \frac{P - C}{C} \times 100\% = \frac{120 - 120}{120} \times 100\% = 0\%$$

Jawaban akhir:
Biaya awal: $\$120$; Persentase perubahan bersih: $0\%$.

Verifikasi:
Markup: $\$120 \times 1,25 = \$150$. Diskon: $\$150 \times 0,80 = \$120$. Harga yang dibayarkan sama dengan $\$120$, dan biaya sama dengan harga yang dibayarkan (perubahan bersih sebesar $0\%$).

### Langkah-langkah

Selesaikan
\[
\sqrt{x+6}=x
\]
pada bilangan real.

Karena akar kuadrat tidak negatif, sisi kanan persamaan harus memenuhi
\[
x\ge 0.
\]
Selain itu, radikan mensyaratkan \(x+6\ge 0\), yang secara otomatis terpenuhi jika \(x\ge 0\).

Kuadratkan kedua sisi:
\[
x+6=x^2.
\]

Atur ulang:
\[
x^2-x-6=0.
\]

Faktorkan:
\[
(x-3)(x+2)=0.
\]

Hasil yang mungkin adalah
\[
x=3\quad\text{atau}\quad x=-2.
\]

Kedua nilai tersebut harus diperiksa kembali pada persamaan aslinya karena proses pengkuadratan dapat menghasilkan solusi yang tidak valid.

Untuk \(x=3\):
\[
\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3,
\]
sehingga \(x=3\) valid.

Untuk \(x=-2\):
\[
\sqrt{-2+6}=\sqrt{4}=2\ne -2,
\]
sehingga \(x=-2\) tidak valid. Solusi ini tidak valid karena akar kuadrat utama selalu tidak negatif, sedangkan nilai yang diusulkan pada sisi kanan persamaan bernilai negatif.

### Jawaban akhir

\[
\boxed{x=3}
\]

### Verifikasi

Substitusi ke dalam persamaan asli menghasilkan
\[
\sqrt{3+6}=3,
\]
\[
3=3.
\]

Nilai \(x=-2\) yang ditolak menghasilkan \(2=-2\), yang salah.

Langkah-langkah
- Domain/syarat: x + 6 harus ≠ 0 (x ≠ −6) dan, karena akar kuadrat utama tidak negatif, x ≠ 0.
- Kuadratkan kedua sisi: x + 6 = x² �?? x² �?? x �?? 6 = 0 �?? (x �?? 3)(x + 2) = 0 �?? x = 3 atau x = �??2.
- Uji pada persamaan asli: x = 3 �?? �??9 = 3 �??. x = �??2 �?? �??4 = 2 �?� �??2 �??.

Jawaban akhir
x = 3.

Verifikasi
(3 + 6) = 9 = 3 = x.
Mengapa √2 tidak memenuhi syarat: pengkuadratan tidak dapat dibalik hal ini mengubah �??(x+6) = x menjadi persamaan yang juga dipenuhi oleh �??(x+6) = �??x. x = �??2 memenuhi cabang kedua tersebut, tetapi melanggar syarat x �?� 0 karena akar utama tidak boleh negatif. Ini adalah akar asing yang diperkenalkan oleh proses pengkuadratan.

Langkah-langkah:
1. Persamaan: $\sqrt{x + 6} = x$.
2. Batasan Domain/Kondisi:
   - Radikand tidak negatif: $x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$.
   - Akar kuadrat utama tidak negatif: $\sqrt{x + 6} \ge 0 \implies x \ge 0$.
   - Batasan domain gabungan: $x \ge 0$.
3. Kuadratkan kedua sisi:
   $$x + 6 = x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0$$
4. Faktorkan:
   $$(x - 3)(x + 2) = 0 \implies \text{Nilai yang mungkin: } x = 3, x = -2$$
5. Periksa kandidat dalam persamaan asli $\sqrt{x + 6} = x$:
   - Untuk $x = 3$: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$. Benar (Sisi Kiri = Sisi Kanan).
   - Untuk $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2$. Ditolak.
6. **Alasan penolakan:** Fungsi akar kuadrat bilangan real utama $\sqrt{\cdot}$ selalu menghasilkan nilai real non-negatif ($\sqrt{4} = +2$). Karena sisi kanan adalah $-2$, persamaan $² = -2$ salah. $x = -2$ adalah solusi asing yang muncul akibat pengkuadratan.

Jawaban akhir:
$x = 3$.

Verifikasi:
Sisi kiri (LHS) pada $x = 3$: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3 = \text{Sisi kanan (RHS)}$.
Sisi kiri (LHS) pada $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2 = \text{Sisi kanan (RHS)}$.

### Langkah-langkah

Hitung
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx.
\]

Gunakan substitusi \(u\):
\[
u=x^2.
\]

Maka
\[
du=2x\,dx.
\]

Oleh karena itu,
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx=\int e^u\,du.
\]

Mengintegralkan:
\[
\int e^u\,du=e^u+C.
\]

Substitusikan \(u=x^2\):
\[
e^{x^2}+C.
\]

Antiderivatif ini berlaku untuk semua \(x\) real.

### Jawaban akhir

\[
\boxed{\int 2x e^{x^2}\,dx=e^{x^2}+C}
\]

### Verifikasi

Turunan hasil tersebut menggunakan aturan rantai:
\[
\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}+C\right)
=e^{x^2}\cdot 2x
=2x e^{x^2}.
\]

Hasil ini sesuai dengan fungsi yang diintegralkan semula.

Langkah-langkah
- Substitusi: u = x², du = 2x dx.
- �?� 2x e^(x²) dx = �?� e^u du = e^u + C = e^(x²) + C.

Jawaban akhir
e^(x²) + C.

Verifikasi
d/dx [e^(x²) + C] = e^(x²) · d/dx(x²) = 2x e^(x²) �?? (aturan rantai). Berlaku untuk semua x bilangan real; fungsi yang diintegralkan kontinu pada �?�.

Langkah-langkah:
1. Hitung $\int 2x e^{x^2} \, dx$ pada daerah $x \in (-\infty, \infty)$.
2. Nama substitusi: substitusi $u$ dengan $u = x^2$.
3. Hitung turunan: $du = 2x \, dx$.
4. Substitusikan ke dalam integral:
   $$\int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C$$
5. Substitusi balik $u = x^2$:
   $$e^{x^2} + C$$

Jawaban akhir:
$e^{x^2} + C$  (Substitusi: $u = x^2$)

Verifikasi:
Turunan hasil tersebut terhadap $x$ menggunakan aturan rantai:
$$\frac{d}{dx}\left(e^{x^2} + C\right) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + 0 = 2x e^{x^2}$$
Ini mengembalikan integrand asli.