最佳 AI 數學解算器 (2026)：經過測試可獲得精確結果的工具

### 步驟

已知
\[
x+y=11,\qquad xy=24.
\]

利用
\[
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.
\]

因此
\[
x^2+y^2=11^2-2(24)=121-48=73.
\]

要確定 \(x\) 和 \(y\) 的值，它們必須是下列方程式的根：
\[
t^2-(x+y)t+xy=0,
\]
因此
\[
t^2-11t+24=0.
\]

因式分解：
\[
(t-3)(t-8)=0.
\]

因此，這兩個值為 \(3\) 和 \(8\)。

### 最終答案

\[
\boxed{x^2+y^2=73},\qquad \boxed{\{x,y\}=\{3,8\}}.
\]

### 驗證

\[
3+8=11,\qquad 3\cdot 8=24,
\]
且
\[
3^2+8^2=9+64=73.
\]

步驟
- (x+y)² = x² + 2xy + y²，因此 x² + y² = 11² �?? 2(24) = 121 �?? 48 = 73。
- x 和 y 是方程式 t² − 11t + 24 = 0 的根，即 (t − 3)(t − 8)。

最終答案
x² + y² = 73；{x, y} = {3, 8}。

驗證
3 + 8 = 11，3·8 = 24，9 + 64 = 73。判別式 121 - 96 = 25 > 0，因此兩個根皆為實數。.

步驟：
1. 運用代數恆等式 $x² + y² = (x + y)² - 2xy$。
2. 代入已知數值 $x + y = 11$ 及 $xy = 24$：
   $$x^2 + y^2 = 11^2 - 2(24) = 121 - 48 = 73$$
3. 為求得 $x$ 與 $y$，構建一組根為 $x$ 與 $y$ 的二次方程式：
   $$t^2 - (x+y)t + xy = 0 \implies t^2 - 11t + 24 = 0$$
4. 將該二次方程式因式分解：
   $$(t - 3)(t - 8) = 0 \implies t = 3 \text{ 或 } t = 8$$

最終答案：
$x^2 + y^2 = 73$；無序對 $\{x, y\} = \{3, 8\}$。

驗證：
$3 + 8 = 11$，$3 × 8 = 24$，且 $3² + 8² = 9 + 64 = 73$。.

### 步驟

設正方形的兩邊長分別為 \(a\) 和 \(b\)。

周長為 \(34\) 公分：
\[
2(a+b)=34,
\]
因此
\[
a+b=17.
\]

對角線長為 \(13\) 公分，根據畢氏定理，
\[
a^2+b^2=13^2=169.
\]

利用
\[
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab,
\]
可得
\[
17^2=169+2ab.
\]

因此，
\[
289=169+2ab,
\]
\[
2ab=120,
\]
\[
ab=60.
\]

兩邊的長度是方程
\[
t^2-17t+60=0.
\]

因式分解：
\[
(t-5)(t-12)=0.
\]

因此，兩邊長分別為 \(5\) 公分和 \(12\) 公分。面積為
\[
A=ab=60\text{ 公分}^2.
\]

由於其長度與寬度的和及積均為固定值，因此邊長已確定。該二次式恰有兩個正根 \(5\) 和 \(12\)，只要互換長度與寬度，即可得到相同的長方形。

### 最終答案

\[
\boxed{\text{邊長：}5\text{ 公分與 }12\text{ 公分}}
\]
\[
\boxed{\text{面積：}60\text{ 公分}^2}
\]

### 驗證

周長：
\[
2(5+12)=2(17)=34\text{ 公分}.
\]

對角線：
\[
\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ 公分}.
\]

面積：
\[
5\cdot 12=60\text{ 公分}^2.
\]

步驟
- 設兩邊分別為 a、b，且 a, b > 0。周長：2(a+b) = 34 �?? a + b = 17。
- 對角線（畢氏定理）：a² + b² = 169。
- 2ab = (a+b)² �?? (a²+b²) = 289 �?? 169 = 120 �?? ab = 60.
- a、b 是方程 t² − 17t + 60 = 0 的根，即 (t − 5)(t − 12)。

最終答案
兩邊長分別為 5 公分和 12 公分；面積為 60 平方公分。

驗證
2(5+12) = 34，5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²，面積 = 60。
為何能唯一確定：兩個條件確定了邊長的和與積，而一項式二次式可由其根的和與積唯一確定。 判別式 289 �?? 240 = 49 > 0 表示有兩個正根，只要重新標記 a 和 b 的值，這兩個根便代表同一個長方形，因此其長寬作為無序對是唯一的。.

步驟：
1. 設兩邊長分別為 $a > 0$ 和 $b > 0$。
2. 周長方程式為 $²(a + b) = 34，由此可得 a + b = 17$。
3. 根據畢氏定理，對角線長度為 $a² + b² = 13² = 169$。
4. 利用公式 $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$：
   $$17^2 = 169 + 2ab \implies 289 = 169 + 2ab \implies 2ab = 120 \implies ab = 60$$
5. 面積為 $A = ab = 60\text{ cm}^2$。
6. 邊長 $a$ 和 $b$ 是方程 $t^2 - 17t + 60 = 0$ 的正根：
   $$(t - 5)(t - 12) = 0 \implies t = 5 \text{ 或 } t = 12$$
7. **為何能確定維數：** 周長與對角線能唯一地確定正邊長之和 $(a+b = 17)$ 及積 $(ab = 60)$。 一個指定兩個數之和與積的系統，能唯一地定義二次多項式的根集，從而給出一組在順序上唯一的邊長對。

最終答案：
邊長：$5\text{ 公分}$ 與 $12\text{ 公分}$；面積：$60\text{ 公分}^2$。 由於周長和對角線能唯一確定相鄰邊長之和與積，進而導出唯一的一組正二次方程解，因此尺寸得以確定。

驗證：
周長：$2(5 + 12) = 34\text{ cm}$。 對角線：$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ 公分}$。 面積：$5 × 12 = 60\text{ 公分}^2$。.

### 步驟

假設原始成本為 \(C\)。

\(25\%\) 的加價率會使成本乘以
\[
1+0.25=1.25.
\]

因此，標價為
\[
1.25C.
\]

\(20\%\) 的折扣表示顧客需支付標價的 \(80\%\)：
\[
0.80(1.25C)=120.
\]

由於
\[
0.80\cdot 1.25=1,
\]
因此方程式變為
\[
C=120.
\]

實際支付價格等於原始成本，因此淨百分比變化為
\[
\frac{120-120}{120}\cdot 100\%=0\%.
\]

### 最終答案

\[
\boxed{\text{原始成本}=\$120}
\]
\[
\boxed{\text{淨百分比變化}=0\%}
\]

### 驗證

在 \(\$120\) 上加價 \(25\%\) 後，結果為
\[
120(1.25)=\$150.
\]

若以 \(\$150\) 為基準，適用 \(20\%\) 的折扣，則得
\[
150(0.80)=\$120.
\]

因此，實際支付的價格正好等於原始成本。.

步驟
- 設成本為 C。標價為 1.25C。
- 售價 = 0.80 × 1.25C = 1.00C。
- 實際支付價格 = 120 × C = 120。
- 淨變動 = (120 × 120)/120 = 0.

最終答案
原始成本 = $120；從成本到實際支付價格的淨變動 = 0%（無變動）。

驗證
120 ✕ 加價 25% ✕ 150 ✕ 20% 折扣 ✕ 150 ✕ 30 = 120 ✕。 請注意乘數：1.25 × 0.80 = 1 正好，因此無論成本為何，加價與折扣都會相互抵銷。（如所述，此結果為稅前金額。）

步驟：
1. 設 $C > 0$ 為原始成本（以美元計）。
2. 25% 的加價：標價 $M = C × (1 + 0.25) = 1.25C$。
3. 標價 20% 的折扣：實際支付價格 $P = M × (1 - 0.20) = 1.25C × 0.80 = 1.00C$。
4. 設 $P = \$120$：
   $$1.00C = 120 \implies C = \$120$$
5. 成本與支付價格之間的淨百分比變化：
   $$\text{淨變化 \%} = \frac{P - C}{C} \times 100\% = \frac{120 - 120}{120} \times 100\% = 0\%$$

最終答案：
原始成本：$\$120$； 淨百分比變化：$0\%$。

驗證：
加成：$\$120 \times 1.25 = \$150$。 折扣：$\$150 \times 0.80 = \$120$。 實際支付價格為 $\$120$，且成本等於實際支付價格（$0\%$ 淨變動）。.

### 步驟

求解
\[
\sqrt{x+6}=x
\]
於實數域中。

由於平方根是非負的，因此右邊必須滿足
\[
x\ge 0.
\]
此外，被開方式要求 \(x+6\ge 0\)，當 \(x\ge 0\) 時，此條件自然成立。

將兩邊平方：
\[
x+6=x^2.
\]

變形：
\[
x^2-x-6=0.
\]

因式分解：
\[
(x-3)(x+2)=0.
\]

解的候選數為
\[
x=3\quad\text{或}\quad x=-2.
\]

由於平方運算可能會引入多餘解，因此必須將這兩個候選解代入原方程式中進行驗證。

對於 \(x=3\)：
\[
\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3,
\]
因此 \(x=3\) 成立。

對於 \(x=-2\)：
\[
\sqrt{-2+6}=\sqrt{4}=2\ne -2,
\]
因此 \(x=-2\) 無效。其無效的原因在於：主平方根始終為非負數，而所提出的右邊項卻為負數。

### 最終答案

\[
\boxed{x=3}
\]

### 驗證

代入原方程式可得
\[
\sqrt{3+6}=3,
\]
\[
3=3.
\]

被排除的候選值 \(x=-2\) 會得到 \(2=-2\)，這是不成立的。.

步驟
- 定義域／條件：需滿足 x + 6 ≠ 0（x ≠ −6），且由於主平方根為非負數，故 x ≠ 0。
- 將兩邊平方：x + 6 = x² - x² - x - 6 = 0 - (x - 3)(x + 2) = 0 - x = 3 或 x = -2。
- 代入原方程式驗證：x = 3 ≠ 9 = 3 ≠。x = √2 ≠ 4 = 2 ≠ √2 ≠。

最終答案
x = 3。

驗證
(3 + 6) = 9 = 3 = x。
為何 √2 不成立：平方運算不可逆， 這會將 √(x+6) = x 轉變為一個方程式，該方程式同時也滿足 √(x+6) = √x。x = √2 雖滿足第二個分支，但違反了 x ≠ 0 的條件，因為主根不能為負數。 這是平方運算所引入的多餘根。.

步驟：
1. 方程式：$\sqrt{x + 6} = x$。
2. 定義域／條件限制：
   - 被開方數非負：$x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$。
   - 根式非負：$\sqrt{x + 6} \ge 0 \implies x \ge 0$。
   - 綜合定義域限制：$x \ge 0$。
3. 兩邊平方：
   $$x + 6 = x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0$$
4. 因式分解：
   $$(x - 3)(x + 2) = 0 \implies \text{解元候選值：} x = 3, x = -2$$
5. 將候選值代入原方程式 $\sqrt{x + 6} = x$ 進行驗證：
   - 當 $x = 3$ 時：$\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$。成立（左邊 = 右邊）。
   - 對於 $x = -2$：$\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2$。被排除。
6. **駁回理由：** 主要實數平方根函數 $\sqrt{\cdot}$ 總是產生非負實數值（$\sqrt{4} = +2$）。 由於右邊為 $-2$，因此方程式 $² = -2$ 不成立。$x = -2$ 是因平方運算而引入的冗餘解。

最終答案：
$x = 3$。

驗證：
當 $x = 3$ 時，左邊：$\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3 = \text{右邊}$。
左邊在 $x = -2$ 時：$\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2 = \text{右邊}$。.

### 步驟

求
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx.
\]

使用 \(u\) 變換：
\[
u=x^2.
\]

則
\[
du=2x\,dx.
\]

因此，
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx=\int e^u\,du.
\]

求積：
\[
\int e^u\,du=e^u+C.
\]

代入 \(u=x^2\)：
\[
e^{x^2}+C.
\]

此原函數對所有實數 \(x\) 均成立。

### 最終答案

\[
\boxed{\int 2x e^{x^2}\,dx=e^{x^2}+C}
\]

### 驗證

運用鏈式法則對結果求導：
\[
\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}+C\right)
=e^{x^2}\cdot 2x
=2x e^{x^2}.
\]

此結果與原始被積函數相符。.

步驟
- 代入：u = x²，du = 2x dx。
- �?� 2x e^(x²) dx = �?� e^u du = e^u + C = e^(x²) + C。

最終答案
e^(x²) + C。

驗證
d/dx [e^(x²) + C] = e^(x²) · d/dx(x²) = 2x e^(x²) �?? （鏈式法則）。對所有實數 x 均成立；被積函數在 �?� 上連續。.

步驟：
1. 在定義域 $x ∈ (−∞, ∞)$ 上求積分 $\int 2x e^{x^2} \, dx$。
2. 變換名稱：$u$ 變換，其中 $u = x^2$。
3. 計算微分：$du = 2x \, dx$。
4. 代入積分式：
   $$\int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C$$
5. 代入 $u = x^2$：
   $$e^{x^2} + C$$

最終答案：
$ e^{x^2} + C$  （代入：$ u = x^2$）

驗證：
利用鏈式法則，對結果關於 $ x$ 求導：
$$\frac{d}{dx}\left(e^{x^2} + C\right) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + 0 = 2x e^{x^2}$$
這便還原了原始的被積函數。.