Miglior risolutore di matematica AI (2026): Strumenti testati per risultati accurati

### Passaggi

Dato che
\[
x+y=11,\qquad xy=24.
\]

Si utilizza
\[
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.
\]

Quindi
\[
x^2+y^2=11^2-2(24)=121-48=73.
\]

Per determinare \(x\) e \(y\), occorre che siano le radici di
\[
t^2-(x+y)t+xy=0,
\]
quindi
\[
t^2-11t+24=0.
\]

Scomposizione in fattori:
\[
(t-3)(t-8)=0.
\]

Pertanto i due valori sono \(3\) e \(8\).

### Risultato finale

\[
\boxed{x^2+y^2=73},\qquad \boxed{\{x,y\}=\{3,8\}}.
\]

### Verifica

\[
3+8=11,\qquad 3\cdot 8=24,
\]
e
\[
3^2+8^2=9+64=73.
\]

Passaggi
- (x+y)² = x² + 2xy + y², quindi x² + y² = 11² �?? 2(24) = 121 �?? 48 = 73.
- x e y sono le radici di t² �?? 11t + 24 = 0 = (t �?? 3)(t �?? 8).

Risposta finale
x² + y² = 73; {x, y} = {3, 8}.

Verifica
3 + 8 = 11, 3·8 = 24, 9 + 64 = 73. Il discriminante 121 - 96 = 25 > 0, quindi entrambe le radici sono reali.

Procedimento:
1. Utilizzare l'identità algebrica $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$.
2. Sostituisci i valori dati $x + y = 11$ e $xy = 24$:
   $$x^2 + y^2 = 11^2 - 2(24) = 121 - 48 = 73$$
3. Per trovare $x$ e $y$, si costruisca l’equazione di secondo grado le cui radici sono $x$ e $y$:
   $$t^2 - (x+y)t + xy = 0 \implies t^2 - 11t + 24 = 0$$
4. Scomporre l’equazione di secondo grado:
   $$(t - 3)(t - 8) = 0 \implies t = 3 \text{ oppure } t = 8$$

Risposta finale:
$x^2 + y^2 = 73$; coppia non ordinata $\{x, y\} = \{3, 8\}$.

Verifica:
$3 + 8 = 11$, $3 \times 8 = 24$ e $3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73$.

### Passaggi

Siano \(a\) e \(b\) le lunghezze dei lati positivi.

Il perimetro è \(34\) cm:
\[
2(a+b)=34,
\]
quindi
\[
a+b=17.
\]

La diagonale misura \(13\) cm, quindi, in base al teorema di Pitagora,
\[
a^2+b^2=13^2=169.
\]

Utilizzando
\[
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab,
\]
si ottiene
\[
17^2=169+2ab.
\]

Pertanto,
\[
289=169+2ab,
\]
\[
2ab=120,
\]
\[
ab=60.
\]

Le lunghezze dei lati sono radici di
\[
t^2-17t+60=0.
\]

Scomposizione in fattori:
\[
(t-5)(t-12)=0.
\]

Pertanto, le lunghezze dei lati sono \(5\) cm e \(12\) cm. L’area è
\[
A=ab=60\text{ cm}^2.
\]

Le dimensioni sono determinate poiché la loro somma e il loro prodotto sono fissi. L’equazione di secondo grado ha esattamente due radici positive, \(5\) e \(12\), che danno origine allo stesso rettangolo, a parte l’inversione tra lunghezza e larghezza.

### Risposta finale

\[
\boxed{\text{Lunghezze dei lati: }5\text{ cm e }12\text{ cm}}
\]
\[
\boxed{\text{Area: }60\text{ cm}^2}
\]

### Verifica

Perimetro:
\[
2(5+12)=2(17)=34\text{ cm}.
\]

Diagonale:
\[
\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ cm}.
\]

Area:
\[
5\cdot 12=60\text{ cm}^2.
\]

Procedimento
- Siano a e b > 0 i lati. Perimetro: 2(a+b) = 34 �?? a + b = 17.
- Diagonale (Teorema di Pitagora): a² + b² = 169.
- 2ab = (a+b)² �?? (a²+b²) = 289 �?? 169 = 120 �?? ab = 60.
- a, b sono le radici di t² �?? 17t + 60 = 0 = (t �?? 5)(t �?? 12).

Risposta finale
Lati 5 cm e 12 cm; area 60 cm².

Verifica
2(5+12) = 34, 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13, area = 60.
Motivazione: le due condizioni determinano la somma e il prodotto delle lunghezze dei lati, e un'equazione quadratica monica è univocamente determinata dalla somma e dal prodotto delle sue radici. Il discriminante 289 �?? 240 = 49 > 0 fornisce due radici positive, che corrispondono allo stesso rettangolo a parte la ridenominazione di a e b �??; pertanto le dimensioni sono univoche come coppia non ordinata.

Procedimento:
1. Supponiamo che le lunghezze dei lati siano $a > 0$ e $b > 0$.
2. L'equazione del perimetro è $²(a + b) = 34 \implies a + b = 17$.
3. In base al teorema di Pitagora, la diagonale dà $a^2 + b^2 = 13^2 = 169$.
4. Si utilizza $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$:
   $$17^2 = 169 + 2ab \implies 289 = 169 + 2ab \implies 2ab = 120 \implies ab = 60$$
5. L’area è $A = ab = 60\text{ cm}^2$.
6. Le lunghezze dei lati $a$ e $b$ sono le radici positive di $t^2 - 17t + 60 = 0$:
   $$(t - 5)(t - 12) = 0 \implies t = 5 \text{ oppure } t = 12$$
7. **Perché le dimensioni sono determinate:** Il perimetro e la diagonale fissano in modo univoco sia la somma $(a+b = 17)$ sia il prodotto $(ab = 60)$ delle lunghezze dei lati positivi. Un sistema che specifica la somma e il prodotto di due numeri definisce in modo univoco l’insieme delle radici di un polinomio di secondo grado, fornendo una coppia unica di lunghezze dei lati, a parte l’ordine.

Risposta finale:
Lunghezze dei lati: $5\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$; Area: $60\text{ cm}^2$. Le dimensioni sono determinate poiché il perimetro e la diagonale fissano in modo univoco la somma e il prodotto delle lunghezze dei lati adiacenti, portando a un unico insieme di soluzioni positive di equazioni di secondo grado.

Verifica:
Perimetro: $2(5 + 12) = 34\text{ cm}$. Diagonale: $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$. Area: $5 \times 12 = 60\text{ cm}^2$.

### Passaggi

Sia \(C\) il costo originale.

Un ricarico del \(25\%\) moltiplica il costo per
\[
1+0,25=1,25.
\]

Il prezzo di listino è quindi
\[
1,25C.
\]

Uno sconto del \(20\%\) significa che il cliente paga \(80\%\) del prezzo di listino:
\[
0,80(1,25C)=120.
\]

Poiché
\[
0,80\cdot 1,25=1,
\]
l’equazione diventa
\[
C=120.
\]

Il prezzo pagato è pari al costo originario, quindi la variazione percentuale netta è
\[
\frac{120-120}{120}\cdot 100\%=0\%.
\]

### Risultato finale

\[
\boxed{\text{Costo originario}=\$120}
\]
\[
\boxed{\text{Variazione percentuale netta}=0\%}
\]

### Verifica

Un ricarico del \(25\%\) su \(\$120\) dà
\[
120(1,25)=\$150.
\]

Uno sconto del \(20\%\) su \(\$150\) dà
\[
150(0,80)=\$120.
\]

Pertanto, il prezzo pagato è esattamente uguale al costo originario.

Procedimento
- Sia C il costo. Prezzo di listino = 1,25C.
- Prezzo di vendita = 0,80 × 1,25C = 1,00C.
- Prezzo pagato = 120 × C = 120.
- Variazione netta = (120 - 120)/120 = 0.

Risposta finale
Costo originario = $120; variazione netta dal costo al prezzo pagato = 0% (nessuna variazione).

Verifica
120 �?? maggiorazione del 25% �?? 150 �?? sconto del 20% �?? 150 �?? 30 = 120 �??. Si notino i moltiplicatori: 1,25 �? 0,80 = esattamente 1, quindi il ricarico e lo sconto si annullano a prescindere dal costo. (Il risultato è al netto delle imposte, come indicato.)

Procedura:
1. Sia $C > 0$ il costo originario in dollari.
2. Ricalcio del 25%: prezzo di listino $M = C \times (1 + 0,25) = 1,25C$.
3. Sconto del 20% sul prezzo indicato: prezzo pagato $P = M \times (1 - 0,20) = 1,25C \times 0,80 = 1,00C$.
4. Si pone $P = \$120$:
   $$1,00C = 120 \implies C = \$120$$
5. Variazione percentuale netta dal costo al prezzo pagato:
   $$\text{Variazione netta} = \frac{P - C}{C} \times 100\% = \frac{120 - 120}{120} \times 100\% = 0\%$$

Risposta finale:
Costo originario: $\$120$; Variazione percentuale netta: $0\%$.

Verifica:
Ricarico: $\$120 \times 1,25 = \$150$. Sconto: $\$150 \times 0,80 = \$120$. Il prezzo pagato corrisponde a $\$120$ e il costo è pari al prezzo pagato (variazione netta pari a $0\%$).

### Passaggi

Risolvere
\[
\sqrt{x+6}=x
\]
sui numeri reali.

Poiché una radice quadrata è non negativa, il membro destro deve soddisfare
\[
x\ge 0.
\]
Inoltre, il radicando richiede che \(x+6\ge 0\), condizione che si soddisfa automaticamente quando \(x\ge 0\).

Elevare al quadrato entrambi i membri:
\[
x+6=x^2.
\]

Riorganizziamo:
\[
x^2-x-6=0.
\]

Fattorizziamo:
\[
(x-3)(x+2)=0.
\]

Le soluzioni candidate sono
\[
x=3\quad\text{oppure}\quad x=-2.
\]

Entrambe le soluzioni devono essere verificate nell’equazione originale, poiché l’elevamento al quadrato può introdurre soluzioni estranee.

Per \(x=3\):
\[
\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3,
\]
quindi \(x=3\) è valido.

Per \(x=-2\):
\[
\sqrt{-2+6}=\sqrt{4}=2\ne -2,
\]
quindi \(x=-2\) non è valido. Non è valido perché la radice quadrata principale è sempre non negativa, mentre il termine proposto nel membro destro è negativo.

### Risultato finale

\[
\boxed{x=3}
\]

### Verifica

Sostituendo nell’equazione originale si ottiene
\[
\sqrt{3+6}=3,
\]
\[
3=3.
\]

Il candidato scartato \(x=-2\) dà \(2=-2\), il che è falso.

Procedimento
- Intervallo di definizione/condizioni: è necessario che x + 6 ≠ 0 (x ≠ −6) e, poiché la radice quadrata principale è non negativa, x ≠ 0.
- Elevare al quadrato entrambi i lati: x + 6 = x² �?? x² �?? x �?? 6 = 0 �?? (x �?? 3)(x + 2) = 0 �?? x = 3 oppure x = �??2.
- Verifica nell’equazione originale: x = 3 �?? �??9 = 3 �??. x = �??2 �?? �??4 = 2 �?� �??2 �??.

Risposta finale
x = 3.

Verifica
(3 + 6) = 9 = 3 = x.
Perché x = √2 non è valido: l’elevamento al quadrato non è reversibile trasforma �??(x+6) = x in un'equazione soddisfatta anche da �??(x+6) = �??x. x = �??2 soddisfa il secondo ramo, ma viola la condizione x �?� 0 poiché la radice principale non può essere negativa. Si tratta di una radice estranea introdotta dall’elevamento al quadrato.

Passaggi:
1. Equazione: $\sqrt{x + 6} = x$.
2. Restrizioni di dominio/condizioni:
   - Radicando non negativo: $x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$.
   - Radice quadrata principale non negativa: $\sqrt{x + 6} \ge 0 \implies x \ge 0$.
   - Restrizione combinata dell'intervallo di definizione: $x \ge 0$.
3. Elevare al quadrato entrambi i lati:
   $$x + 6 = x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0$$
4. Scomporre in fattori:
   $$(x - 3)(x + 2) = 0 \implies \text{Valori possibili: } x = 3, x = -2$$
5. Verifica delle soluzioni nell’equazione originale $\sqrt{x + 6} = x$:
   - Per $x = 3$: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$. Valido (membro sinistro = membro destro).
   - Per $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2$. Rifiutato.
6. **Motivo del rifiuto:** La funzione principale della radice quadrata reale $\sqrt{\cdot}$ restituisce sempre un valore reale non negativo ($\sqrt{4} = +2$). Poiché il membro destro è $-2$, l’equazione $² = -2$ è falsa. $x = -2$ è una soluzione estranea introdotta dall’elevamento al quadrato.

Risposta finale:
$x = 3$.

Verifica:
Parte sinistra quando $x = 3$: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3 = \text{Parte destra}$.
Parte sinistra dell'equazione quando $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2 = \text{Parte destra}$.

### Passaggi

Calcolare
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx.
\]

Utilizzare la sostituzione con \(u\):
\[
u=x^2.
\]

Quindi
\[
du=2x\,dx.
\]

Pertanto,
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx=\int e^u\,du.
\]

Integrando:
\[
\int e^u\,du=e^u+C.
\]

Sostituiamo \(u=x^2\):
\[
e^{x^2}+C.
\]

Questa primitiva è valida per ogni \(x\) reale.

### Risultato finale

\[
\boxed{\int 2x e^{x^2}\,dx=e^{x^2}+C}
\]

### Verifica

Deriviamo il risultato utilizzando la regola della catena:
\[
\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}+C\right)
=e^{x^2}\cdot 2x
=2x e^{x^2}.
\]

Questo corrisponde all’integrando originale.

Passaggi
- Sostituzione: u = x², du = 2x dx.
- �?� 2x e^(x²) dx = �?� e^u du = e^u + C = e^(x²) + C.

Risposta finale
e^(x²) + C.

Verifica
d/dx [e^(x²) + C] = e^(x²) · d/dx(x²) = 2x e^(x²) �?? (regola della catena). Valido per ogni x reale; l'integrando è continuo su �?�.

Procedura:
1. Calcolare $\int 2x e^{x^2} \, dx$ sull'intervallo $x \in (-\infty, \infty)$.
2. Nome della sostituzione: sostituzione $u$ con $u = x^2$.
3. Calcolare la derivata: $du = 2x \, dx$.
4. Sostituire nell’integrale:
   $$\int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C$$
5. Sostituire nuovamente $u = x^2$:
   $$e^{x^2} + C$$

Risposta finale:
$e^{x^2} + C$  (Sostituzione: $u = x^2$)

Verifica:
Derivare il risultato rispetto a $x$ utilizzando la regola della catena:
$$\frac{d}{dx}\left(e^{x^2} + C\right) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + 0 = 2x e^{x^2}$$
Si ottiene così l’integrando originale.