Meilleur résolveur de maths AI (2026) : Outils testés pour des résultats précis

### Étapes

On a
\[
x+y=11,\qquad xy=24.
\]

On utilise
\[
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.
\]

On a donc
\[
x^2+y^2=11^2-2(24)=121-48=73.
\]

Pour déterminer \(x\) et \(y\), il faut qu’ils soient les racines de
\[
t^2-(x+y)t+xy=0,
\]
donc
\[
t^2-11t+24=0.
\]

Factorisation :
\[
(t-3)(t-8)=0.
\]

Les deux valeurs sont donc \(3\) et \(8\).

### Réponse finale

\[
\boxed{x^2+y^2=73},\qquad \boxed{\{x,y\}=\{3,8\}}.
\]

### Vérification

\[
3+8=11,\qquad 3\cdot 8=24,
\]
et
\[
3^2+8^2=9+64=73.
\]

Étapes
- (x + y)² = x² + 2xy + y², donc x² + y² = 11² ÷ 2(24) = 121 ÷ 48 = 73.
- x et y sont les racines de t² �?? 11t + 24 = 0 = (t �?? 3)(t �?? 8).

Réponse finale
x² + y² = 73 ; {x, y} = {3, 8}.

Vérification
3 + 8 = 11, 3·8 = 24, 9 + 64 = 73. Le discriminant 121 - 96 = 25 > 0, donc les deux racines sont réelles.

Étapes :
1. Utilisez l'identité algébrique $x² + y² = (x + y)² - 2xy$.
2. Remplacez les valeurs données $x + y = 11$ et $xy = 24$ :
   $$x² + y² = 11² - 2(24) = 121 - 48 = 73$$
3. Pour déterminer $x$ et $y$, on construit l'équation du second degré dont les racines sont $x$ et $y$ :
   $$t^2 - (x+y)t + xy = 0 \implies t^2 - 11t + 24 = 0$$
4. Décomposez l'équation du second degré en facteurs :
   $$(t - 3)(t - 8) = 0 \implies t = 3 \text{ ou } t = 8$$

Réponse finale :
$x^2 + y^2 = 73$ ; paire non ordonnée $\{x, y\} = \{3, 8\}$.

Vérification :
$3 + 8 = 11$, $3 \times 8 = 24$, et $3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73$.

### Étapes

Soient \(a\) et \(b\) les longueurs des côtés positifs.

Le périmètre est de \(34\) cm :
\[
2(a+b)=34,
\]
donc
\[
a+b=17.
\]

La diagonale mesure \(13\) cm ; d’après le théorème de Pythagore,
\[
a^2+b^2=13^2=169.
\]

En utilisant
\[
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab,
\]
on obtient
\[
17^2=169+2ab.
\]

Par conséquent,
\[
289=169+2ab,
\]
\[
2ab=120,
\]
\[
ab=60.
\]

Les longueurs des côtés sont les racines de
\[
t^2-17t+60=0.
\]

Décomposition en facteurs :
\[
(t-5)(t-12)=0.
\]

Les longueurs des côtés sont donc de \(5\) cm et \(12\) cm. L’aire est
\[
A=ab=60\text{ cm}^2.
\]

Les dimensions sont déterminées car leur somme et leur produit sont fixes. L’équation du second degré a exactement deux racines positives, \(5\) et \(12\), qui donnent le même rectangle à l’exception de l’inversion de la longueur et de la largeur.

### Réponse finale

\[
\boxed{\text{Longueurs des côtés : }5\text{ cm et }12\text{ cm}}
\]
\[
\boxed{\text{Aire : }60\text{ cm}^2}
\]

### Vérification

Périmètre :
\[
2(5+12)=2(17)=34\text{ cm}.
\]

Diagonale :
\[
\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ cm}.
\]

Aire :
\[
5\cdot 12=60\text{ cm}^2.
\]

Étapes
- Soient a et b > 0 les côtés. Périmètre : 2(a+b) = 34 �?? a + b = 17.
- Diagonale (théorème de Pythagore) : a² + b² = 169.
- 2ab = (a + b)² �?? (a² + b²) = 289 �?? 169 = 120 �?? ab = 60.
- a et b sont les racines de t² �?? 17t + 60 = 0 = (t �?? 5)(t �?? 12).

Réponse finale
Côtés de 5 cm et 12 cm ; aire de 60 cm².

Vérification
2(5+12) = 34, 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², aire = 60.
Pourquoi cette solution est-elle unique ? Les deux conditions déterminent la somme et le produit des longueurs des côtés, et une équation du second degré monique est déterminée de manière unique par la somme et le produit de ses racines. Le discriminant 289 �?? 240 = 49 > 0 donne deux racines positives, qui correspondent au même rectangle à l’exception d’un changement de nom de a et b �?? ; les dimensions sont donc uniques en tant que paire non ordonnée.

Étapes :
1. Soient les longueurs des côtés $a > 0$ et $b > 0$.
2. L'équation du périmètre est $²(a + b) = 34, ce qui implique que a + b = 17$.
3. D'après le théorème de Pythagore, la diagonale donne $a² + b² = 13² = 169$.
4. On utilise la formule $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ :
   $$17^2 = 169 + 2ab \implies 289 = 169 + 2ab \implies 2ab = 120 \implies ab = 60$$
5. L'aire est égale à $A = ab = 60\text{ cm}^2$.
6. Les longueurs des côtés $a$ et $b$ sont les racines positives de l'équation $t^2 - 17t + 60 = 0$ :
   $$(t - 5)(t - 12) = 0 \implies t = 5 \text{ ou } t = 12$$
7. **Pourquoi les dimensions sont-elles déterminées ?** Le périmètre et la diagonale déterminent de manière unique à la fois la somme $(a + b = 17)$ et le produit $(ab = 60)$ des longueurs des côtés positifs. Un système spécifiant la somme et le produit de deux nombres définit de manière unique l’ensemble des racines d’un polynôme du second degré, ce qui donne un couple unique de longueurs de côtés à l’ordre près.

Réponse finale :
Longueurs des côtés : $5\text{ cm}$ et $12\text{ cm}$ ; Aire : $60\text{ cm}^2$. Les dimensions sont déterminées car le périmètre et la diagonale fixent de manière unique la somme et le produit des longueurs des côtés adjacents, ce qui conduit à un ensemble unique de solutions positives de l'équation du second degré.

Vérification :
Périmètre : $2(5 + 12) = 34\text{ cm}$. Diagonale : $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$. Aire : $5 \times 12 = 60\text{ cm}^2$.

### Étapes

Soit \(C\) le coût d'origine.

Une majoration de \(25\%\) multiplie le coût par
\[
1+0,25=1,25.
\]

Le prix affiché est donc
\[
1,25C.
\]

Une remise de \(20\%\) signifie que le client paie \(80\%\) du prix affiché :
\[
0,80(1,25C)=120.
\]

Puisque
\[
0,80 \cdot 1,25 = 1,
\]
l’équation devient
\[
C = 120.
\]

Le prix payé étant égal au coût d’origine, la variation nette en pourcentage est donc
\[
\frac{120-120}{120}\cdot 100\%=0\%.
\]

### Réponse finale

\[
\boxed{\text{Coût initial}=\$120}
\]
\[
\boxed{\text{Variation nette en pourcentage}=0\%}
\]

### Vérification

Une majoration de \(25\%\) sur \(\$120\) donne
\[
120(1,25)=\$150.
\]

Une remise de \(20\%\) sur \(\$150\) donne
\[
150(0,80)=\$120.
\]

Le prix payé est donc exactement égal au coût d’origine.

Étapes
- Soit le coût = C. Prix affiché = 1,25C.
- Prix de vente = 0,80 × 1,25C = 1,00C.
- Prix payé = 120 × C = 120.
- Variation nette = (120 – 120)/120 = 0.

Réponse finale
Coût d'origine = $120 ; variation nette entre le coût et le prix payé = 0% (aucune variation).

Vérification
120 �?? majoration de 25% �?? 150 �?? remise de 20% �?? 150 �?? 30 = 120 �??. Notez les multiplicateurs : 1,25 × 0,80 = exactement 1 ; la majoration et la remise s’annulent donc quel que soit le coût. (Le résultat s’entend hors taxes, comme indiqué.)

Étapes :
1. Soit $C > 0$ le coût initial en dollars.
2. Majoration de 25% : prix affiché $M = C \times (1 + 0,25) = 1,25C$.
3. Remise de 20% sur le prix affiché : prix payé $P = M × (1 - 0,20) = 1,25C × 0,80 = 1,00C$.
4. Posons $P = \$120$ :
   $$1,00C = 120 \implies C = \$120$$
5. Variation nette en pourcentage entre le coût et le prix payé :
   $$\text{Variation nette} = \frac{P - C}{C} \times 100\% = \frac{120 - 120}{120} \times 100\% = 0\%$$

Réponse finale :
Coût d'origine : $\$120$ ; Variation nette en pourcentage : $0\%$.

Vérification :
Marge : $\$120 \times 1,25 = \$150$. Remise : $\$150 \times 0,80 = \$120$. Le prix payé correspond à $\$120$, et le coût est égal au prix payé (variation nette de $0\%$).

### Étapes

Résolvez
\[
\sqrt{x+6}=x
\]
sur l'ensemble des nombres réels.

Comme une racine carrée est non négative, le membre de droite doit satisfaire
\[
x\ge 0.
\]
De plus, le radicande impose que \(x+6\ge 0\), ce qui est automatiquement satisfait lorsque \(x\ge 0\).

Élevez les deux côtés au carré :
\[
x+6=x^2.
\]

Réorganisons :
\[
x^2 - x - 6 = 0.
\]

Factorisons :
\[
(x - 3)(x + 2) = 0.
\]

Les solutions candidates sont
\[
x = 3\quad\text{ou}\quad x = -2.
\]

Les deux solutions doivent être vérifiées dans l’équation d’origine, car l’élévation au carré peut introduire des solutions étrangères.

Pour \(x=3\) :
\[
\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3,
\]
donc \(x=3\) est valide.

Pour \(x=-2\) :
\[
\sqrt{-2+6}=\sqrt{4}=2\ne -2,
\]
donc \(x=-2\) n’est pas valable. Cette solution est incorrecte car la racine carrée principale est toujours non négative, alors que le terme proposé pour le membre de droite est négatif.

### Réponse finale

\[
\boxed{x=3}
\]

### Vérification

En substituant dans l’équation d’origine, on obtient
\[
\sqrt{3+6}=3,
\]
\[
3=3.
\]

La valeur rejetée \(x=-2\) donne \(2=-2\), ce qui est faux.

Étapes
- Domaine de définition/conditions : il faut que x + 6 ≠ 0 (x ≠ −6) et, comme la racine carrée principale est non négative, x ≠ 0.
- Élever les deux côtés au carré : x + 6 = x² × x² × x × 6 = 0 × (x × 3)(x + 2) = 0 × x = 3 ou x = √2.
- Vérification dans l'équation d'origine : x = 3 ≠ 9 = 3 ≠. x = √2 ≠ 4 = 2 ≠ √2 ≠.

Réponse finale
x = 3.

Vérification
(3 + 6) = 9 = 3 = x.
Pourquoi x = √2 n'est pas valable : l'élévation au carré n'est pas réversible cela transforme �??(x+6) = x en une équation également satisfaite par �??(x+6) = �??x. x = �??2 satisfait cette deuxième branche, mais cela viole la condition x �?� 0 car la racine principale ne peut pas être négative. Il s’agit d’une racine superflue introduite par l’élévation au carré.

Étapes :
1. Équation : $\sqrt{x + 6} = x$.
2. Restrictions de domaine/conditions :
   - Radicande non négative : $x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$.
   - La racine carrée principale est non négative : $\sqrt{x + 6} \ge 0 \implies x \ge 0$.
   - Restriction combinée du domaine : $x \ge 0$.
3. Élever au carré les deux côtés :
   $$x + 6 = x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0$$
4. Factoriser :
   $$(x - 3)(x + 2) = 0 \implies \text{Solutions possibles : } x = 3, x = -2$$
5. Vérification des solutions dans l'équation d'origine $\sqrt{x + 6} = x$ :
   - Pour $x = 3$ : $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$. Valide (membre de gauche = membre de droite).
   - Pour $x = -2$ : $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2$. Rejeté.
6. **Raison du rejet :** La fonction racine carrée réelle principale $\sqrt{\cdot}$ donne toujours une valeur réelle non négative ($\sqrt{4} = +2$). Comme le membre de droite est $-2$, l'équation $² = -2$ est fausse. $x = -2$ est une solution étrangère introduite par l'élévation au carré.

Réponse finale :
$x = 3$.

Vérification :
Membre de gauche pour $x = 3$ : $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3 = \text{membre de droite}$.
Membre de gauche pour $x = -2$ : $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2 = \text{membre de droite} $.

### Étapes

Calculez
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx.
\]

Utilisez la substitution par \(u\) :
\[
u=x^2.
\]

On a alors
\[
du = 2x\,dx.
\]

Par conséquent,
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx = \int e^u\,du.
\]

En intégrant :
\[
\int e^u\,du = e^u + C.
\]

En remplaçant \(u = x^2\) :
\[
e^{x^2} + C.
\]

Cette primitive est valable pour tout \(x\) réel.

### Réponse finale

\[
\boxed{\int 2x e^{x^2}\,dx=e^{x^2}+C}
\]

### Vérification

Dérivons le résultat en utilisant la règle de dérivation en chaîne :
\[
\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}+C\right)
=e^{x^2}\cdot 2x
=2x e^{x^2}.
\]

Cela correspond à l’intégrande d’origine.

Étapes
- Substitution : u = x², du = 2x dx.
- �?� 2x e^(x²) dx = �?� e^u du = e^u + C = e^(x²) + C.

Réponse finale
e^(x²) + C.

Vérification
d/dx [e^(x²) + C] = e^(x²) · d/dx(x²) = 2x e^(x²) (règle de dérivation en chaîne). Valable pour tout x réel ; l'intégrande est continue sur �?�.

Étapes :
1. Évaluez $\int 2x e^{x^2} \, dx$ sur l'intervalle $x \in (-\infty, \infty)$.
2. Nom de la substitution : substitution $u$ avec $u = x^2$.
3. Calculer la dérivée : $du = 2x \, dx$.
4. Remplacer dans l'intégrale :
   $$\int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C$$
5. Remplacer à nouveau par $u = x^2$ :
   $$e^{x^2} + C$$

Réponse finale :
$e^{x^2} + C$  (Substitution : $u = x^2$)

Vérification :
Dériver le résultat par rapport à $x$ en utilisant la règle de dérivation en chaîne :
$$\frac{d}{dx}\left(e^{x^2} + C\right) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + 0 = 2x e^{x^2}$$
On retrouve ainsi l’intégrande d’origine.