أفضل حلال ذكاء اصطناعي للرياضيات (2026): أدوات تم اختبارها للحصول على نتائج دقيقة

### الخطوات

المعطيات
\[
x+y=11,\qquad xy=24.
\]

استخدم
\[
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy.
\]

وبالتالي
\[
x^2+y^2=11^2-2(24)=121-48=73.
\]

لتحديد قيمتي \(x\) و \(y\)، يجب أن تكونا جذري المعادلة
\[
t^2-(x+y)t+xy=0,
\]
إذن
\[
t^2-11t+24=0.
\]

التحليل إلى عوامل:
\[
(t-3)(t-8)=0.
\]

ومن ثم، فإن القيمتين هما \(3\) و \(8\).

### الإجابة النهائية

\[
\boxed{x^2+y^2=73},\qquad \boxed{\{x,y\}=\{3,8\}}.
\]

### التحقق

\[
3+8=11,\qquad 3\cdot 8=24,
\]
و
\[
3^2+8^2=9+64=73.
\]

الخطوات
- (x+y)² = x² + 2xy + y²، إذن x² + y² = 11² �?? 2(24) = 121 �?? 48 = 73.
- x و y هما جذرا المعادلة t² �?? 11t + 24 = 0 = (t �?? 3)(t �?? 8).

الإجابة النهائية
x² + y² = 73؛ {x, y} = {3, 8}.

التحقق
3 + 8 = 11، و3·8 = 24، و9 + 64 = 73. والتمييز 121 - 96 = 25 > 0، لذا فإن كلا الجذرين حقيقيان.

الخطوات:
1. استخدم المتطابقة الجبرية $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$.
2. عيّن القيم المعطاة $x + y = 11$ و $xy = 24$:
   $$x^2 + y^2 = 11^2 - 2(24) = 121 - 48 = 73$$
3. لإيجاد $x$ و $y$، قم بتركيب المعادلة التربيعية التي جذورها هي $x$ و $y$:
   $$t^2 - (x+y)t + xy = 0 \implies t^2 - 11t + 24 = 0$$
4. قم بتحليل المعادلة التربيعية إلى عوامل:
   $$(t - 3)(t - 8) = 0 \implies t = 3 \text{ أو } t = 8$$

الإجابة النهائية:
$x^2 + y^2 = 73$؛ الزوج غير المرتب $\{x, y\} = \{3, 8\}$.

التحقق:
$3 + 8 = 11$، و$3 \times 8 = 24$، و$3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73$.

### الخطوات

لنفترض أن طولي الضلعين الموجبين هما \(a\) و \(b\).

المحيط يساوي \(34\) سم:
\[
2(a+b)=34,
\]
إذن
\[
a+b=17.
\]

القطر يساوي \(13\) سم، وبموجب نظرية فيثاغورس،
\[
a^2+b^2=13^2=169.
\]

باستخدام
\[
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab,
\]
نحصل على
\[
17^2=169+2ab.
\]

وبالتالي،
\[
289=169+2ab,
\]
\[
2ab=120,
\]
\[
ab=60.
\]

أطوال الأضلاع هي جذور المعادلة
\[
t^2-17t+60=0.
\]

التحليل إلى عوامل:
\[
(t-5)(t-12)=0.
\]

وبالتالي، فإن طولي الضلعين هما \(5\) سم و\(12\) سم. والمساحة هي
\[
A=ab=60\text{ سم}^2.
\]

يتم تحديد أبعاد المستطيل لأن مجموع أضلاعه وحاصل ضربها ثابتان. المعادلة التربيعية لها جذران موجبان بالضبط هما \(5\) و\(12\)، مما يعطي نفس المستطيل مع تبديل الطول والعرض.

### الإجابة النهائية

\[
\boxed{\text{أطوال الأضلاع: }5\text{ سم و }12\text{ سم}}
\]
\[
\boxed{\text{المساحة: }60\text{ سم}^2}
\]

### التحقق

المحيط:
\[
2(5+12)=2(17)=34\text{ سم}.
\]

القطر:
\[
\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ سم}.
\]

المساحة:
\[
5\cdot 12=60\text{ سم}^2.
\]

الخطوات
- لنفترض أن طولي الضلعين هما a و b > 0. المحيط: 2(a+b) = 34 �?? a + b = 17.
- القطر (نظرية فيثاغورس): a² + b² = 169.
- 2ab = (a+b)² �?? (a²+b²) = 289 �?? 169 = 120 �?? ab = 60.
- a و b هما جذرا المعادلة t² �?? 17t + 60 = 0 = (t �?? 5)(t �?? 12).

الإجابة النهائية
الجانبان 5 سم و 12 سم؛ المساحة 60 سم².

التحقق
2(5+12) = 34، 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²، المساحة = 60.
سبب التحديد: الشرطان يحددان مجموع وطول ضلعين، والمعادلة التربيعية أحادية الحدود تُحدد بشكل فريد بمجموع جذورها وضربها. التمييز 289 �?? 240 = 49 > 0 يعطي جذرين موجبين، وهما يمثلان نفس المستطيل مع إعادة تسمية a و b �?? لذا فإن الأبعاد فريدة كزوج غير مرتب.

الخطوات:
1. لنفترض أن طولي الضلعين هما $a > 0$ و $b > 0$.
2. معادلة المحيط هي $²(a + b) = 34 \implies a + b = 17$.
3. وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن القطر يعطي $a^2 + b^2 = 13^2 = 169$.
4. باستخدام $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$:
   $$17^2 = 169 + 2ab \implies 289 = 169 + 2ab \implies 2ab = 120 \implies ab = 60$$
5. المساحة هي $A = ab = 60\text{ سم}^2$.
6. طولا الضلعين $a$ و $b$ هما الجذران الموجبان لمعادلة $t^2 - 17t + 60 = 0$:
   $$(t - 5)(t - 12) = 0 \implies t = 5 \text{ أو } t = 12$$
7. **لماذا يتم تحديد الأبعاد:** يحدد المحيط والقطر بشكل فريد كل من المجموع $(a+b = 17)$ والحاصل $(ab = 60)$ لأطوال الأضلاع الموجبة. يحدد النظام الذي يحدد مجموع وحاصل ضرب عددين بشكل فريد مجموعة جذور دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية، مما يعطي زوجًا فريدًا من أطوال الأضلاع حتى الترتيب.

الإجابة النهائية:
أطوال الأضلاع: $5\text{ سم}$ و $12\text{ سم}$؛ المساحة: $60\text{ سم}^2$. يتم تحديد الأبعاد لأن المحيط والقطر يحددان بشكل فريد مجموع وحاصل ضرب أطوال الأضلاع المتجاورة، مما يؤدي إلى مجموعة حلول تربيعية موجبة فريدة.

التحقق:
المحيط: $2(5 + 12) = 34\text{ سم}$. القطر: $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ سم}$. المساحة: $5 \times 12 = 60\text{ سم}^2$.

### الخطوات

لنفترض أن التكلفة الأصلية هي \(C\).

تؤدي نسبة هامش الربح البالغة \(25\%\) إلى ضرب التكلفة في
\[
1+0.25=1.25.
\]

وبالتالي، فإن السعر المحدد هو
\[
1.25C.
\]

ويعني الخصم بنسبة \(20\%\) أن العميل يدفع \(80\%\) من السعر المحدد:
\[
0.80(1.25C)=120.
\]

وبما أن
\[
0.80\cdot 1.25=1,
\]
تصبح المعادلة
\[
C=120.
\]

السعر المدفوع يساوي التكلفة الأصلية، لذا فإن التغير الصافي في النسبة المئوية هو
\[
\frac{120-120}{120}\cdot 100\%=0\%.
\]

### الإجابة النهائية

\[
\boxed{\text{التكلفة الأصلية}=\$120}
\]
\[
\boxed{\text{التغير الصافي في النسبة المئوية}=0\%}
\]

### التحقق

عند إضافة هامش ربح بنسبة \(25\%\) إلى \(\$120\) نحصل على
\[
120(1.25)=\$150.
\]

وبتطبيق خصم بنسبة \(20\%\) على \(\$150\) نحصل على
\[
150(0.80)=\$120.
\]

وبالتالي، فإن السعر المدفوع يساوي التكلفة الأصلية تمامًا.

الخطوات
- لنفترض أن التكلفة = C. السعر المحدد = 1.25C.
- سعر البيع = 0.80 × 1.25C = 1.00C.
- السعر المدفوع = 120 × C = 120.
- التغير الصافي = (120 - 120)/120 = 0.

الإجابة النهائية
التكلفة الأصلية = $120؛ التغير الصافي من التكلفة إلى السعر المدفوع = 0% (لا يوجد تغير).

التحقق
120 × هامش الربح 25% × 150 × الخصم 20% = 150 × 30 = 120. لاحظ المعاملات: 1.25 × 0.80 = 1 بالضبط، لذا فإن الزيادة والخصم يلغيان بعضهما البعض بغض النظر عن التكلفة. (النتيجة قبل الضريبة، كما هو مذكور.)

الخطوات:
1. لنفترض أن $C > 0$ هي التكلفة الأصلية بالدولار.
2. هامش الربح البالغ 25%: السعر المحدد $M = C × (1 + 0.25) = 1.25C$.
3. الخصم بنسبة 20% على السعر المحدد: السعر المدفوع $P = M × (1 - 0.20) = 1.25C × 0.80 = 1.00C$.
4. نضع $P = \$120$:
   $$1.00C = 120 \implies C = \$120$$
5. النسبة المئوية الصافية للتغير من التكلفة إلى السعر المدفوع:
   $$\text{التغير الصافي \%} = \frac{P - C}{C} \times 100\% = \frac{120 - 120}{120} \times 100\% = 0\%$$

الإجابة النهائية:
التكلفة الأصلية: $\$120$؛ النسبة المئوية للتغير الصافي: $0\%$.

التحقق:
هامش الربح: $\$120 \times 1.25 = \$150$. الخصم: $\$150 \times 0.80 = \$120$. السعر المدفوع يساوي $\$120$، والتكلفة تساوي السعر المدفوع ($0\%$ تغيير صافٍ).

### الخطوات

حل
\[
\sqrt{x+6}=x
\]
على الأعداد الحقيقية.

نظرًا لأن الجذر التربيعي عدد غير سالب، يجب أن يستوفي الطرف الأيمن الشرط
\[
x\ge 0.
\]
كما أن المعادلة تتطلب أن \(x+6\ge 0\)، وهو ما يتحقق تلقائيًا عندما يكون \(x\ge 0\).

نرفع كلا الطرفين إلى المربع:
\[
x+6=x^2.
\]

أعد ترتيب المعادلة:
\[
x^2-x-6=0.
\]

قسّم على العوامل:
\[
(x-3)(x+2)=0.
\]

الحلول المحتملة هي
\[
x=3\quad\text{أو}\quad x=-2.
\]

يجب التحقق من كلا الحلين في المعادلة الأصلية لأن التربيع قد يؤدي إلى ظهور حلول غير صحيحة.

بالنسبة لـ \(x=3\):
\[
\sqrt{3+6}=\sqrt9=3,
\]
لذا فإن \(x=3\) صحيح.

بالنسبة لـ \(x=-2\):
\[
\sqrt{-2+6}=\sqrt{4}=2\ne -2,
\]
لذا فإن \(x=-2\) غير صحيح. وهو غير صحيح لأن الجذر التربيعي الرئيسي يكون دائمًا غير سالب، في حين أن الطرف الأيمن المقترح سالب.

### الإجابة النهائية

\[
\boxed{x=3}
\]

### التحقق

بالتعويض في المعادلة الأصلية نحصل على
\[
\sqrt{3+6}=3,
\]
\[
3=3.
\]

القيمة المرفوضة \(x=-2\) تعطي \(2=-2\)، وهو خطأ.

الخطوات
- المجال/الشروط: يجب أن يكون x + 6 ≥ 0 (x ≥ 6)، وبما أن الجذر التربيعي الرئيسي غير سالب، فإن x ≥ 0.
- نرفع كلا الطرفين إلى التربيع: x + 6 = x² �?? x² �?? x �?? 6 = 0 �?? (x �?? 3)(x + 2) = 0 �?? x = 3 أو x = �??2.
- التحقق في المعادلة الأصلية: x = 3 �?? �??9 = 3 �??. x = �??2 �?? �??4 = 2 �?� �??2 �??.

الإجابة النهائية
x = 3.

التحقق
(3 + 6) = 9 = 3 = x.
لماذا لا يصح x = 2: التربيع عملية غير قابلة للعكس فهو يحول �??(x+6) = x إلى معادلة تتحقق أيضًا في �??(x+6) = �??x. x = �??2 يحقق الفرع الثاني، لكنه يخالف الشرط x �?� 0 لأن الجذر الرئيسي لا يمكن أن يكون سالبًا. إنه جذر غريب ناتج عن التربيع.

الخطوات:
1. المعادلة: $\sqrt{x + 6} = x$.
2. قيود المجال/الشروط:
   - المعامل غير سالب: $x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$.
   - الجذر التربيعي الرئيسي غير سالب: $\sqrt{x + 6} \ge 0 \implies x \ge 0$.
   - قيد المجال المركب: $x \ge 0$.
3. تربيع الطرفين:
   $$x + 6 = x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0$$
4. تحليل العوامل:
   $$(x - 3)(x + 2) = 0 \implies \text{القيم المحتملة: } x = 3, x = -2$$
5. التحقق من القيم المحتملة في المعادلة الأصلية $\sqrt{x + 6} = x$:
   - بالنسبة لـ $x = 3$: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$. صحيح (الطرف الأيسر = الطرف الأيمن).
   - بالنسبة لـ $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2$. مرفوض.
6. **سبب الرفض:** الدالة الجذرية الحقيقية الرئيسية $\sqrt{\cdot}$ تُعطي دائمًا قيمة حقيقية غير سالبة ($\sqrt{4} = +2$). وبما أن الطرف الأيمن يساوي $-2$، فإن المعادلة $² = -2$ غير صحيحة. و$x = -2$ هو حل زائد ناتج عن التربيع.

الإجابة النهائية:
$x = 3$.

التحقق:
الطرف الأيسر عند $x = 3$: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3 = \text{الطرف الأيمن}$.
الطرف الأيسر عند $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2 = \text{الطرف الأيمن}$.

### الخطوات

احسب قيمة
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx.
\]

استخدم التعويض بـ \(u\):
\[
u=x^2.
\]

إذن
\[
du=2x\,dx.
\]

وبالتالي،
\[
\int 2x e^{x^2}\,dx=\int e^u\,du.
\]

بالتكامل:
\[
\int e^u\,du=e^u+C.
\]

نستبدل \(u=x^2\):
\[
e^{x^2}+C.
\]

هذا المشتق العكسي صحيح لجميع قيم \(x\) الحقيقية.

### الإجابة النهائية

\[
\boxed{\int 2x e^{x^2}\,dx=e^{x^2}+C}
\]

### التحقق

أجرِ اشتقاق النتيجة باستخدام قاعدة السلسلة:
\[
\frac{d}{dx}\left(e^{x^2}+C\right)
=e^{x^2}\cdot 2x
=2x e^{x^2}.
\]

وهذا يتطابق مع الدالة الأصلية.

الخطوات
- التعويض: u = x²، du = 2x dx.
- �?� 2x e^(x²) dx = �?� e^u du = e^u + C = e^(x²) + C.

الإجابة النهائية
e^(x²) + C.

التحقق
d/dx [e^(x²) + C] = e^(x²) · d/dx(x²) = 2x e^(x²) �?? (قاعدة السلسلة). صحيح لجميع قيم x الحقيقية؛ الدالة المودعة في التكامل متصلة على �?�.

الخطوات:
1. احسب قيمة $\int 2x e^{x^2} \, dx$ على المجال $x \in (-\infty, \infty)$.
2. اسم التعويض: التعويض بـ $u$ حيث $u = x^2$.
3. احسب المشتقة: $du = 2x \, dx$.
4. استبدل في التكامل:
   $$\int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^u \, du = e^u + C$$
5. إعادة التعويض بـ $u = x^2$:
   $$e^{x^2} + C$$

الإجابة النهائية:
$ e^{x^2} + C$  (التعويض: $ u = x^2$)

التحقق:
أجرِ اشتقاق النتيجة بالنسبة إلى $ x$ باستخدام قاعدة السلسلة:
$$\frac{d}{dx}\left(e^{x^2} + C\right) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + 0 = 2x e^{x^2}$$
وهذا يعيدنا إلى الدالة الأصلية.